Вывод волнового уравнения для электромагнитных волн

я собираюсь установить$\epsilon_0=\mu_0=1$. Теперь уравнения Максвелла таковы:

$$\nabla . \textbf{E} = \rho$$ $$\nabla . \textbf{B} = 0$$ $$\nabla \times \textbf{E} = -\frac{\partial\textbf{B}}{\partial t}$$ $$\nabla \times \textbf{B} = \left(\textbf{J} + \frac{\partial\textbf{E}}{\partial t}\right)$$ и у нас есть личность $$\begin{equation} \nabla \times (\nabla \times\textbf{V}) = \nabla(\nabla.\textbf{V}) - \nabla^2\textbf{V} \end{equation}$$

Теперь происходит так же, как в вакууме

$$\nabla \times (\nabla \times \textbf{E}) = \nabla \times -\frac{\partial\textbf{B}}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \textbf{B})=-\frac{\partial}{\partial t}\left(\textbf{J} + \frac{\partial\textbf{E}}{\partial t}\right)$$

в то время как LHS становится:

$$\nabla(\nabla.\textbf{E}) - \nabla^2\textbf{E}=\nabla(\rho) - \nabla^2\textbf{E}$$

Переставив RHS и LHS, получим

$$\nabla^2\textbf{E}-\frac{\partial^2\textbf{E}}{\partial t^2}=\nabla\rho +\frac{\partial}{\partial t}\textbf{J}$$

Проще говоря

$$\Box\textbf{E}=\textbf{C}$$ где $$\textbf{C}=\nabla\rho +\frac{\partial}{\partial t}\textbf{J}$$

Теперь переходим к случаю$\textbf{B}$

$$\nabla \times (\nabla \times \textbf{B})=\nabla \times\left(\textbf{J} + \frac{\partial\textbf{E}}{\partial t}\right)= \nabla \times\textbf{J} + \frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\textbf{E})=\nabla \times\textbf{J} -\frac{\partial^2\textbf{E}}{\partial t^2}$$ что касается LHS, у нас есть

$$\nabla(\nabla.\textbf{B}) - \nabla^2\textbf{B}=\nabla(0) - \nabla^2\textbf{B}$$

Переставив RHS и LHS, получим

$$\nabla^2\textbf{B}-\frac{\partial^2\textbf{B}}{\partial t^2}=-\nabla \times\textbf{J}$$

проще говоря

$$\Box \textbf{B}=\textbf{F}$$ где $$\textbf{F}=-\nabla \times\textbf{J}$$

Таким образом, размещение источников в конечном итоге привело к тому, что мы называем неоднородным волновым уравнением , которое просто

$$\Box f(t,\vec{x})=h(t,\vec{x})$$ то же самое, что и в случае уравнения Лапласа и Пуассона в главе 3.

Дополнительный материал (я сделаю предположение о тензорах): уравнения Максвелла являются ковариантными уравнениями Лоренца (вот как они способствовали триумфу Эйнштейна специальной теории относительности), даже когда они были открыты в эпоху ньютоновской механики. Ковариация Лоренца - еще один термин, обозначающий, что данная физическая величина подчиняется закону преобразования различных инерциальных систем отсчета в специальной теории относительности.

Возможно, вы также заметили, насколько грязно становится использовать curl и div каждый раз в приведенном выше расчете, и вы увидите это, когда сравните уравнения глав 10 и 12 книги Гриффитса, касающиеся$\vec{J},\rho, A_\mu$. Я приведу грубый набросок приведенного выше расчета в свете СТО.

Мы определяем величину, называемую 4-вектором, как обобщение векторов в 4-х измерениях пространства Минковского.

$$A_{\mu}=(V, A_x, A_y, A_z)$$ $$J_{\mu}=(\rho, J_x, J_y, J_z)$$

Определить величину, называемую тензором электромагнитной силы.

$$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$$

Уравнение Максвелла можно переписать как

$$\partial^\nu F_{\mu\nu}=J_\mu$$ и $$\partial_{[\mu} F_{\nu\lambda]}=0$$

Оставим в стороне второе уравнение (на самом деле это тавтология), давайте сосредоточимся на первом уравнении, расширив его с точки зрения$A_\mu$

$$\partial^\nu(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)=J_\mu$$

$$\partial^\nu(\partial_\mu A_\nu)-\partial^\nu(\partial_\nu A_\mu)=J_\mu$$ переставляя термины, которые у нас есть $$\partial_\mu(\partial^\nu A_\nu)-(\partial^\nu\partial_\nu) A_\mu=J_\mu$$

Теперь воспользуемся калибровкой Лоренца и установим$\partial^\nu A_\nu$так что в конечном итоге мы остались с

$$-(\partial^\nu\partial_\nu) A_\mu=J_\mu$$ что не что иное, как $$-\Box A_\mu = J_\mu$$

которое представляет собой просто волновое уравнение различных потенциалов при наличии различных источников, которые вы можете восстановить$\vec{E}$,$\vec{B}$от$A_\mu$. Возможно, вы ничего не поняли из этого бонусного материала, если это ваше первое знакомство с 4-векторами, тензорами, суммированием Эйнштейна, калибровочным преобразованием/свободой. Что я на самом деле хотел показать вам, так это то, что пока вы держитесь в сложной путанице вычислений, и когда вы закончите с главой 12 Гриффита, у вас будет другой взгляд на электродинамику в целом.

Тот факт, что электрические и магнитные поля подчиняются волновым уравнениям такой формы, является прямым результатом предположения об отсутствии зарядов или токов. Если эти допущения ослабить*, то на шаге 11 член, стремящийся к нулю, на самом деле не будет равен нулю (обратите внимание, что ваша векторная идентичность записана неправильно; она должна быть$\nabla \times \nabla \times \textbf{E} = \nabla(\nabla . \textbf{E}) - \nabla^2\textbf{E})$. В итоге вы получите:

$$\frac{1}{\epsilon_0}\nabla \rho - \nabla^2\textbf{E} = -\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \textbf{E}}{\partial t^2}$$

Наличие этого дополнительного члена означает, что это уже не то, что мы считаем волновым уравнением; в общем случае она не будет линейной и уж точно не будет иметь хороших синусоидальных решений.

Также обратите внимание, что если вы хотите рассматривать эти уравнения не в вакууме, если волна распространяется в линейном однородном материале**, вы можете просто заменить$\mu_0$и$\epsilon_0$с$\mu$и$\epsilon$среды.

*Для простоты я предполагаю ток, не зависящий от времени, так что он исчезает в производной по времени в (8), но вы можете легко ослабить это предположение и прийти к аналогичному выводу с другой конечной формой.

** Без этих предположений$\mu$и$\epsilon$будет зависеть от пространства, и снова ваши уравнения примут другую форму с другими решениями.

Гораздо проще вывести волновое уравнение из уравнений Максвелла, записанных в ковариантной форме . Затем они читают

$$\partial_\mu F^{\mu\nu} = -j^\mu / \epsilon_0 ~~.$$ Как$F^{\mu\nu} = \partial^mu A^\nu - \partial^\mu A^\nu$, это становится $$\partial_\mu \partial^\mu A^\nu - \partial_\mu \partial^\nu A^\mu = -j^\mu/\epsilon_0 ~~.$$ В калибровке Лоренца$\partial_\mu \partial^\mu A^\nu - \partial_\mu j^\mu = 0$, это становится волновым уравнением для потенциала $$\partial_\mu \partial^\mu A^\nu = j^\mu/\epsilon_0 ~~.$$ Если хочешь, можешь найти$E$и$B$непосредственно из$A^\mu$.