Уравнения Максвелла для электромагнитной волны

Добрый день, я изучаю физику в Падуанском университете, мне нужно решить эту задачу для экзамена по электромагнитным полям, но у меня другие задачи. Текст следующий:

Электрическое поле электромагнитной волны:

Е "=" Е 0 грех ⁡ ю т ( грех ⁡ ю г , потому что ⁡ ю г , 0 ) .
Я должен найти магнитное поле Б , то я должен проверить уравнение Максвелла для Е и Б , и, наконец, я должен найти 4-потенциал А мю в калибровке Лоренца.

Прежде всего, я рассмотрел н направление распространения волны:

н "=" ( 0 , 0 , 1 )

Так что я думал, что B является перекрестным произведением н и E, я получил:

Б "=" н × Е "=" Е 0 грех ⁡ ю т ( − с о с ю г , с я н ю г , 0 )

И этот результат показался мне разумным, потому что скалярное произведение между E и B равно нулю.

В пустом пространстве я ожидаю, что расхождение E и B равно нулю, и в этом случае оно проверено. Два других уравнения Максвелла устанавливают:

∇ × Е + ∂ Б ∂ т "=" 0

Е 0 ю грех ⁡ ю т ( с я н ю г , с о с ю г , 0 ) + Е 0 ю потому что ⁡ ю т ( − с о с ю г , с я н ю г , 0 ) "=" Е 0 ю ( − с о с ( ю т + ю г ) , с я н ( ю т + ю г ) , 0 )

Но таким образом синус и косинус не могут обращаться в нуль одновременно, у них один и тот же аргумент!

∇ × Б − ∂ Е ∂ т "=" 0

Е 0 ю грех ⁡ ю т ( − с о с ю г , с я н ю г , 0 ) − Е 0 ю потому что ⁡ ю т ( с я н ю г , с о с ю г , 0 ) "=" Е 0 ю ( − с я н ( ю т + ю г ) , − с о с ( ю т + ю г ) , 0 )

Есть та же проблема, что и раньше.

Затем я попытался получить А мю .

А "=" Б ю

∇ × А "=" ∇ × Б ю "=" 1 ю ∇ × Б "=" Б

Потому что я заметил

∇ × Б "=" ю Б

Тогда я хотел получить А 0

Е "=" ∂ А ∂ т − ∇ А 0

Но я остановился на этом, потому что, на мой взгляд, слишком много ошибок в моих рассуждениях. Уравнение Максвелла не проверено.

Если у кого-то есть решение, буду ему бесконечно благодарен

Кажется странным иметь ю г в выражении для электрического поля. Разве не должно быть волнового вектора, к ? Ваше предположение, Б "=" н × Е кажется неоправданным, а также сталкивается с проблемами с размерами. Кроме того, что B перпендикулярен E, непонятно, как вы это придумали.
Pinging @ user1583209, я включил вывод в свой ответ, если вам это интересно. Вы можете избежать с в единицах, отличных от СИ, где Б → и Е → иметь одинаковые единицы измерения; в единицах СИ это Б → "=" с − 1 к ^ × Е → где к ^ - единичный вектор в направлении к → .

Ответы (2)

Я бы предпочел использовать закон Фарадея, чтобы получить магнитное поле:

∇ × Е "=" − ∂ Б ∂ т "=" Е 0 ю грех ⁡ ю т ( грех ⁡ ю г , потому что ⁡ ю г , 0 )
Б "=" Е 0 потому что ⁡ ю т ( грех ⁡ ю г , потому что ⁡ ю г , 0 )

Есть по крайней мере два способа решить эту проблему; один был дан @Ismasou выше.

Другой метод, который вы, кажется, используете, метод плоских волн. Волновое уравнение в вакууме ∇ 2 Е "=" с 2 Е ¨ решается терминами, которые выглядят как ф ( к → ⋅ р → − ю т ) для ю / | к → | "=" с . Мы можем выбрать наши координаты так, чтобы электрическое поле находилось в Икс ^ направление и распространение идет в г ^ таким образом, для некоторого фазового угла мы имеем Е → "=" Е 0   Икс ^   потому что ⁡ ( к г − ю т + ф ) или так. Мы делаем то, что предлагает Исмасу с этой более простой волной, и обнаруживаем, что ∂ т Б → "=" − у ^ ( ∂ г Е Икс − ∂ Икс Е г ) что прямо + у ^   Е 0   к   грех ⁡ ( к г − ю т + ф ) . Интегрировать по отношению к т и вы найдете Б → "=" Б → 0 + у ^   Е 0   ( к / ю )   потому что ⁡ ( ю т − к г ) , поэтому, игнорируя константу, Б → "=" с − 1 г ^ × Е → . Поскольку волновой вектор в этом случае равен к → "=" к г ^ мы можем сделать это полностью общим и сказать, что для любой такой плоской волны, если н ^ "=" к → / | к → | , затем

Б → "=" 1 с н ^ × Е → .
Обратите внимание, что это справедливо только для плоских волн.

Итак, теперь вы пришли с этим более сложным выражением для стоячей волны,

Е → "=" Е 0 грех ⁡ ( ю т ) [ грех ⁡ ( к г ) потому что ⁡ ( к г ) 0 ] .
Это не плоская волна, так что же нам делать? Разложим его на плоские волны. В общем случае стоячие волны представляют собой суммы плоских волн. Давайте посмотрим, как это сделать.

Начнем с правила суммы углов,

потому что ⁡ ( ю т ± к г ) "=" потому что ⁡ ( ю т ) потому что ⁡ ( к г ) ∓ грех ⁡ ( ю т ) грех ⁡ ( к г ) , грех ⁡ ( ю т ± к г ) "=" грех ⁡ ( ю т ) потому что ⁡ ( к г ) ± потому что ⁡ ( ю т ) грех ⁡ ( к г ) .
Теперь мы пытаемся «обратить» их, используя оба знака. В твоем случае,
грех ⁡ ( ю т ) грех ⁡ ( к г ) "=" 1 2 [ потому что ⁡ ( ю т − к г ) − потому что ⁡ ( ю т + к г ) ] , грех ⁡ ( ю т ) потому что ⁡ ( к г ) "=" 1 2 [ грех ⁡ ( ю т − к г ) + грех ⁡ ( ю т + к г ) ] .
Другими словами,
Е → "=" Е 0 2 [ потому что ⁡ ( ю т − к г ) грех ⁡ ( ю т − к г ) 0 ] + Е 0 2 [ − потому что ⁡ ( ю т + к г ) + грех ⁡ ( ю т + к г ) 0 ] .
Первый из них распространяется в н ^ "=" + г ^ направление, как видно из противоположных знаков аргумента ф ( ю т − к г ) . (Если вы никогда не практиковали это, поразмышляйте над предложением «увидеть, что это такое в этот момент». г в какой-то момент т + д т , посмотри что это такое т но в каком-то месте г − с   д т пока не увидишь, что это означает, что волна движется навстречу + г .) Но второй из них распространяется в н ^ "=" − г ^ направление, как видно из тех же признаков аргумента ф ( ю т + к г ) .

Таким образом, с помощью суперпозиции Б → поле для суммы Б → поле для каждого отдельного, и вы можете найти его с помощью 1 с н ^ × Е → для каждого из них в отдельности, а затем суммировать их вместе. Затем вы сможете снова использовать эти правила суммы углов в направлении «вперед», чтобы получить правильное выражение стоячей волны, и что было не так с вашим подходом, так это то, что вы рассматривали стоячую волну, как если бы она была движущейся вперед. плоская волна, тогда как на самом деле это суперпозиция прямой и обратной волн.

Ты прав ! Я должен был рассмотреть суперпозицию плоских волн, а не плоскую волну, я действительно плохо начал ... в любом случае, большое спасибо! Я благодарен и доволен
Уравнения Максвелла для электромагнитной волны
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v