Почему гравитационная потенциальная энергия не уравновешивается?

На потенциальной диаграмме слева также показаны силовые линии гравитационного поля.
Точка, отмеченная$S$является седловой точкой (нейтральной точкой) с точки зрения потенциальной диаграммы, и поэтому градиент потенциала и, следовательно, сила, действующая на массу в этом положении, равна нулю.
Как только масса сдвинется с места$S$на него действует сила, так как существует градиент потенциала.

На правой диаграмме показано изменение потенциала в «3D».

Что вы заметите, так это то, что вокруг позиции$S$потенциал разный.

Нет никаких причин, по которым вы не могли бы сказать, что потенциальная энергия вашей массы, когда она помещена в положение$S$равен нулю, хотя чаще бесконечность принимается за нуль потенциала.
Однако вам нужно будет выполнить работу, то есть увеличить потенциальную энергию вашей массы, если вы отодвинете свою массу от двух масс, и работа будет сделана за вас, или ваша масса получит кинетическую энергию, если она движется к одной из двух масс. . Важно отметить, что даже если градиент потенциала (или сила) равен нулю, это не означает, что потенциал обязательно равен нулю.
Все это означает, что в этом положении потенциал не меняется в зависимости от положения.

На потенциальной диаграмме также показано, что размещение массы в положении$S$приводит к неустойчивому равновесию в том смысле, что небольшое смещение массы приведет к тому, что масса сместится из положения$S$.

Объект находится в состоянии покоя, если результирующая сила, действующая на него, равна нулю. Это не имеет никакого отношения к конкретному значению потенциальной энергии в точке. На самом деле у вас есть свобода сдвига функции потенциальной энергии на константу без изменения физики. Это потому, что физика связана с силами, а сила является производной от потенциала. В вашем случае, если планета находится на расстоянии$r$от одной из звезд потенциальная энергия определяется выражением

Сила, действующая на тело в$r$является производной указанной выше потенциальной функции

и вы можете ясно видеть, что$F(R)=0$как вы заявили.

Потенциальная энергия отрицательна, потому что, если вы прикрепите нить к планете и потянете ее очень далеко от двух звезд, то при этом вы совершите работу, и в пределе работа, которую вы совершите, будет равна$2GMm/R$. И если мы произвольно определим ноль гравитационной потенциальной энергии как потенциальную энергию, бесконечно далекую от других масс, как это обычно определяется, то потенциальная энергия планеты в ее начальном положении должна быть$-2GMm/R$.

(Обратите внимание, что вы можете определить ноль где угодно: важны только различия. Определение нуля как находящегося на бесконечном расстоянии обычно делается потому, что это хороший, универсальный выбор.)

Ваш вопрос неясен: энергия определяется только константой. Важно то, как меняется потенциальная энергия при изменении положения планеты. Таким образом, ваш вопрос может звучать так: почему производная потенциальной энергии равна нулю по отношению к положению планеты?

Планета подобна мячу на самой вершине горы, где мяч не может решить, катиться ему в одну сторону или в другую.

Вот что означает нуль производной потенциальной энергии. Планета находит оба направления (к звезде A или B) одинаково привлекательными. Ноль означает, что он не может выбирать между одним или другим.

Странно то, что планета находится на максимуме (на линии, соединяющей две звезды, см. ответ @Farcher о седловых точках). Если что-то подтолкнет ту или иную сторону, то она вдруг обнаружит, что все больше предпочитает одну звезду другой. Внезапно производная потенциальной энергии больше не равна нулю. Так что, даже если планета не может решить сама, где кто-то заставит ее принять решение (скажем, солнечная вспышка от одной звезды), тогда она будет катиться вместе с ней.

Если быть точным, планета находится в точке Лагранжа L1 системы.