Почему и как невырожденная теория возмущений используется для временной эволюции при L⃗ .S⃗ L→.S→\vec{L}.\vec{S} связи?

Допустим, мы начинаем с электрона, который находится в состоянии со спином вверх и имеет пространственную волновую функцию вида$xf(r)$. Затем включают возмущение вида$\frac{U(r)\vec{L}\cdot\vec{S}}{\hbar ^2}$.

• Теперь нужно знать, какова вероятность того, что состояние, с которого мы начали, через некоторое время все еще будет находиться в том же состоянии.$t$.

Несколько шагов к тому, что я могу себе представить,

• напишите связь$\vec{L}\cdot\vec{S}$как$\frac{1}{2}(J^2 - L^2 - S^2)$

• Используя идентификацию$Y_{1\pm 1} = \lvert1\pm1\rangle$и можно переписать начальную волновую функцию как$xf(r)\otimes \frac{1}{2} = \Bigl[0.5\sqrt{\frac{8\pi}{3}}rf(r)\Bigr]\bigl\{ \lvert 1-1\rangle\otimes \frac{1}{2} - \lvert 11\rangle\otimes \frac{1}{2}\bigr\}$

• можно, наверное, догадаться, что есть$2$больше штатов одновременно$l=1$значения, которые имеют аналогичную форму, но являются суммой$m = \pm1$государства, а другой - просто$m=0$состояние. (.. Я хотел бы знать, есть ли систематический способ получить эти$3$состояний, использующих действие некоторого оператора симметрии, который вращается между этими тремя состояниями... не могу сразу понять, что это за оператор, кроме того факта, что это просто$3$-векторное представление$SO(3)$..)

• В теории возмущений первого порядка можно было бы взять среднее значение этих трех состояний выше в возмущающем потенциале$\frac{U(r)\vec{L}\cdot\vec{S}}{\hbar ^2}$. Здесь, когда для любого из трех вышеупомянутых состояний берется значение ожидания в$J^2$оператора нужно переписать эти состояния выше в$J$основа вроде,$\lvert 1-1\rangle\otimes \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\lvert \frac{3}{2} -\frac{1}{2}\rangle_J - \sqrt{\frac{2}{3}}\lvert\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\rangle_J$и т. д. (.. но для получения ожидаемого значения в$L^2$и$S^2$оператора можно продолжить запись в виде тензорного произведения$l=1$и$s=1/2$состояния.

Можно найти 3 ожидаемых значения возмущающего$\vec{L}\cdot\vec{S}$потенциала в изначально трех вырожденных состояниях, и эти ожидаемые значения являются поправками первого порядка к тем энергиям, которые расщепляют это вырождение.

• Но я думаю, что для того, чтобы ответить на вопрос о вероятности, заданный ранее, нужно найти (пертурбативные) собственные состояния возмущенного потенциала, и только тогда можно ответить на вопрос об эволюции во времени. И вот что мне непонятно, как можно это получить..

Существует ли режим в теории возмущений, при котором можно продолжать думать о трех изначально вырожденных состояниях как о собственных состояниях новых трех расщепленных энергетических уровней?

• Честно говоря, я бы подумал, что нужно было использовать вырожденную теорию возмущений и вычислить этот определитель для определения новых энергетических уровней. Но условно почему указанная выше невырожденная теория возмущений делается для$\vec{L}\cdot\vec{S}$связь?