Почему когерентные состояния гармонических осцилляторов называют «когерентными»?

Когерентные состояния являются собственными векторами для (бозонного) аннулятора,

$$\hat a ~|\alpha\rangle = \alpha~|\alpha\rangle,$$ и если мы определим квадратуры положения и импульса как $\hat x = \hat a^\dagger + \hat a,$ $\hat p = i \hat a^\dagger - i \hat a,$у нас есть $[\hat x, \hat p] = 2i$и безразмерный гамильтониан $\hbar\omega ~ \hat a^\dagger \hat a = \frac12 \hbar\omega~x^2 + \frac12 \hbar\omega~p^2 + \text{const.}$вести нас. Сразу видно, что в когерентном состоянии имеем $\langle x \rangle = \alpha^* + \alpha = 2 ~\Re~{\alpha}$тогда как $\langle p \rangle = i~\alpha^* - i ~ \alpha = 2 ~\Im~\alpha,$так что плоскость положения и импульса - это просто комплексная плоскость $\mathbb C$что $\alpha$Живет на.

Теперь этот гамильтониан, конечно, имеет собственный базис$\hat a^\dagger \hat a ~ |n\rangle = n ~|n\rangle$и с точки зрения этой основы мы видим повторение того, что если$|\alpha\rangle = \sum_n c_n |n\rangle$то мы можем решить, что$\alpha |\alpha\rangle = \hat a |\alpha\rangle$подразумевает

$$c_n \sqrt{n} = \alpha c_{n-1},\text { so } c_n = c_0 \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}.$$ Затем работа $1 = \langle \alpha|\alpha\rangle = c_0\sum_n \big(|\alpha|^2\big)^n/n! = c_0 \exp\big(|\alpha|^2\big)$дает константу нормализации $c_0.$

Однако заметим, что при этом гамильтониане$|n\rangle \mapsto e^{-in\omega t} |n\rangle$и поэтому,

$$|\alpha\rangle \mapsto \exp\left(-|\alpha|^2\right) \sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} ~ e^{-i~\omega t~n} |n\rangle,$$ который мы видим в правой части, объединяется по правилам нормальной экспоненты, чтобы сформировать $(\alpha e^{-i\omega t})^n.$Другими словами, эволюция во времени заключается в том, что $|\alpha(t)\rangle = |\alpha_0 e^{-i\omega t}\rangle,$и наше когерентное состояние просто образует круг на комплексной плоскости по мере своего развития.

Именно в этом смысле я понимаю слово «когерентный», это означает, что «он остается совершенно цельным, пока движется по пути». Точно так же я бы сказал: «Лазеры — когерентное явление; свет по своей природе хочет распространяться в$1/r^2$закону, но в лазере все различные волновые пакеты расположены с правильной разностью фаз, так что они деструктивно интерферируют для волн, которые пытаются выйти из луча, и конструктивно интерферируют в следующем положении луча».

Когерентные состояния гармонического осциллятора — это состояния квантовой механики, которые имеют определенную фазу и минимальную неопределенность. Квантово-механические состояния гармонического осциллятора не имеют определенной фазы (т. е. один фотон, находящийся в фазе с другим фотоном, недействителен в квантовой механике), поэтому нам нужно квантово-механическое состояние для моделирования когерентного лазерного излучения (которое считается множеством световых лучей). источники в фазе друг с другом).

Когерентное состояние гармонического осциллятора может быть получено с помощью оператора смещения, действующего на вакуумное состояние.

$$D|0\rangle=|\alpha\rangle$$ Где $$D=e^{(\alpha{a}^{\dagger}-\alpha^*a)}$$ Когерентное состояние определяется как $$|\alpha\rangle=e^{\frac{-|\alpha|^2}{2}\sum_{n=0}^{\infty}}\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle$$ Где $\alpha=|\alpha|e^{i\theta}$комплексное число с ' $\theta$' фаза когерентного состояния.

Когерентное состояние подчиняется соотношению неопределенности,

$$\Delta{x}\Delta{y}=\frac{\hbar}{2}$$

Основное состояние HO не имеет какой-либо определенной фазы, поэтому гауссиана центрирована в начале координат в фазовом пространстве. Но когерентное состояние имеет определенную фазу, поэтому гауссиана не обязательно центрирована в начале координат.

В контексте квантовой оптики$x$' и '$y$связаны с электрическими и магнитными полями. Идея когерентного состояния широко используется в квантовой оптике.

На мой взгляд, наиболее интуитивный способ объяснения смысла когерентного состояния гармонического осциллятора следующий:

Когерентное состояние гармонического осциллятора (AOCS) представляет собой решение зависящего от времени уравнения Шодингера для квантового гармонического осциллятора. Это означает, что распределение плотности вероятности,$|\psi|^2(x,t)$развивается во времени, т.е. не является стационарным состоянием. Вы помните основное состояние гармонического осциллятора?! Известный$|0\rangle$состояние соответствует гауссовой плотности вероятности с центром в начале координат. Особенность этого состояния в том, что неопределенность положения,$\Delta x$и неопределенность импульса$\Delta p$минимизировать принцип неопределенности Гейземберга. собственное состояние$|0\rangle$является стационарным состоянием и связанной с ним плотностью вероятности$|\psi|^2(x)$не зависит от времени.

Что ж, когерентное состояние гармонического осциллятора можно визуализировать как «колебание».$|0\rangle$состояние. Другими словами, AOCS представляет собой гауссову волновую функцию, которая колеблется взад и вперед вокруг положения$x=0$. Но в каждый момент форма гауссианы всегда одинакова (и минимизирует принцип неопределенности). Итак, некоторые величины, такие как$\langle x \rangle$(что соответствует пику гауссовой волновой функции),$\langle p \rangle$, (которую можно связать со скоростью пика гаусса) имеют синусоидальную эволюцию во времени. Вот почему их часто называют полуклассическими квантовыми состояниями! Другими словами: если амплитуда колебаний$\gg$ $\Delta x$, вы повторно получаете классические уравнения движения для точечной массивной частицы, на которую действует сила упругости.

Конечно, у вас есть много возможных когерентных состояний. Точнее говоря, когерентные состояния образуют двумерное плоское многообразие. Это означает, что для построения AOCS у вас есть 2 степени свободы: амплитуда и фаза колебаний гауссового волнового пакета.

Они когерентны в том смысле, что фаза различных хроматических компонентов устроена таким образом, чтобы воспроизвести это колебательное поведение.