О постулатах квантовой механики и самосопряженности

1. Если у вас есть разные гильбертовы пространства, вы не можете сказать, что это один и тот же оператор в них, так как операторы определены в гильбертовом пространстве . Оператор импульса является сложным для многих систем, и строгость требует обсуждения таких понятий, как оснащенные гильбертовы пространства . Хорошим вводным обсуждением этого является «Математические сюрпризы и формализм Дирака в квантовой механике» Франсуа Жьера .

2. Да. Спектральная теорема верна для самосопряженных операторов, а не для эрмитовых . Эти два понятия совпадают только в конечномерных гильбертовых пространствах, но физики (к сожалению) часто небрежны в этом, потому что они не хотят, чтобы вводная квантовая механика превратилась в полноценный функциональный анализ.

3. Гамильтониан должен быть самосопряженным, поскольку энергия является наблюдаемой, да. Можно ослабить требование самосопряженности и потребовать только РТ-симметричный гамильтониан, и все же можно получить разумную квантовую теорию, но это довольно экзотично . Во всех обычных контекстах гамильтониан является самосопряженным и наблюдаемым. Поскольку он самосопряженный, его собственные векторы действительно охватывают все пространство. Но каждому вектору позволено быть состоянием системы, и только потому, что$p$не ездит с$H$не означает собственных состояний$p$запрещены - как они могли, учитывая, что, если вы измерите$p$, вы найдете систему в одном из собственных состояний по предположению ? Некоммутативность просто означает, что у вас никогда не может быть системы одновременно в собственном состоянии обоих некоммутирующих операторов — если это собственное состояние одного из них, оно будет линейной комбинацией собственных состояний другого (поскольку они образуют основа!)-

Хорошо, тут много моментов.

1)

Прежде всего, оператор в гильбертовых пространствах определяется не только своим действием (например, операцией дифференцирования по импульсу), но и так называемой областью определения, т. е. подпространством векторов гильбертова пространства, где он может действовать. Неограниченные операторы определены не для каждого вектора гильбертова пространства, а только для плотного подмножества, называемого областью определения оператора. Учитывая оператор (т.е. учитывая его действие и его домен), можно спросить, является ли оператор замкнутым относительно этой области, самосопряженным и т. д. Предположим, у вас есть закрываемый плотно определенный симметричный оператор$A$. Тогда оно может иметь ноль, одно или бесконечное самосопряженное расширение. Оператор дифференциации, плотно определенный на непрерывных бесконечно дифференцируемых функциях, имеет только одно самосопряженное расширение в$L^2(\mathbb{R})$; оператор вывода, определенный на$\{\psi, \psi\in AC(0,1), \psi'\in L^2([0,1]), \psi(0)=0=\psi(1)\}$ не имеет самосопряженных расширений в$L^2([0,1])$, но если он определен на$\{\psi, \psi\in AC(0,1), \psi'\in L^2([0,1]), \psi(0)=\alpha\psi(1)\}$, с$\lvert\alpha\rvert=1$то он самосопряженный .

Таким образом, проблема не в том, что вам нужно менять форму оператора, когда вы используете его в разных пространствах, просто вы должны рассматривать операторы в целом, т.е. как действие и соответствующую ему область определения. Сделав это, вы можете узнать, является ли оно замкнутым, симметричным, самосопряженным, существенно самосопряженным и т. д.

2)

Единственными самосопряженными операторами, соответствующие собственные векторы которых образуют базис гильбертова пространства, являются компактные или с компактной резольвентой (самосопряженность и эрмитовость не одно и то же для неограниченных операторов). И наиболее правильная форма другого утверждения о коммутации состоит в том, что два коммутирующих самосопряженных оператора имеют общее спектральное семейство проекторов (я не могу быть более точным в этом вопросе с вашим уровнем знаний). Предположим, что если они оба компактны или имеют компактную резольвенту, то сделанное вами утверждение верно.

3)

Постулат должен гласить: «Динамика системы порождается единой группой преобразований». Эти унитарные группы находятся во взаимно однозначном соответствии с самосопряженными операторами (теорема Стоуна). Последние действуют как генераторы. Таким образом, гамильтониан — поскольку это именно тот объект, который определяется как генератор динамики — должен быть самосопряженным в квантовой механике.

Редактировать:

Небольшое дополнение по наблюдаемым (ваш второй постулат). Сложно математически точно определить квантово-механические наблюдаемые. Хороший и элегантный математический способ состоит в том, чтобы определить наблюдаемые как$C^*$-алгебра, т. е. алгебра самосопряженных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, и формулировать аксиомы квантовой механики, исходя из наблюдаемых, а не самих гильбертовых пространств. Недостатком является то, что неограниченные операторы не включаются в число наблюдаемых с этой точки зрения, в то время как многие величины, которые считаются наблюдаемыми в физике, являются неограниченными операторами: прежде всего энергия и импульс. Я предполагаю, что очень минимальное требование к физической наблюдаемой в квантовой механике состоит в том, что это симметричный оператор в гильбертовом пространстве, так что его числовой диапазон является подмножеством реальной прямой (т. е. его математическое ожидание всегда является действительным числом).

Квантовая механика — это физическая теория. Для данной физической системы (установки и возможных состояний) вы можете зафиксировать гильбертово пространство и некоторые линейные операторы. Некоторые линейные операторы будут унитарными (например, эволюция во времени, чтобы перевести состояние в один момент времени в состояние в другое время), некоторые операторы будут самосопряженными (например, для наблюдаемой).

Линейный оператор технически является линейной картой из (подпространства) гильбертова пространства в себя, поэтому, когда у вас есть другое гильбертово пространство, вы технически имеете разные операторы по определению.

Для наблюдаемой вы также обычно хотите, чтобы собственные функции были полными.

Для двух коммутирующих наблюдаемых собственные функции одной могут быть или не быть собственными функциями другой, но есть общие собственные функции, и их достаточно.

Зависимость от времени задается уравнением Шрёдингера, а для стационарных состояний Hf=Ef, где f — волновая функция, H — гамильтониан, а E — энергия системы.

Иногда вы хотите от оператора большего, чем просто самосопряженность, например, вы можете захотеть, чтобы он имел конечное математическое ожидание для каждого состояния, потому что иногда вы считаете математическое ожидание самого себя своего рода наблюдаемым ансамблем.

Имеют ли собственные функции гамильтониана всю информацию о системе?

Собственные функции гамильтониана полны, и вы знаете, как эволюционирует каждая из них (потому что вы знаете энергию), поэтому вы можете выяснить, как действует любой ограниченный оператор в любой момент времени. Это очень хорошо. (Для неограниченного оператора вам нужно будет проверить, находится ли ваше состояние в домене)

Если собственные функции не являются собственными функциями... скажем, p, что означает, что p не коммутирует с H, то собственные функции p не могут быть одним из возможных состояний системы?

Если наблюдаемая не коммутирует с гамильтонианом, то у них не будет общих собственных функций, но это совершенно нормально. Это просто означает, что после измерения наблюдаемого импульса оно не будет собственным энергетическим состоянием, даже если оно было им раньше. Но собственные функции энергии все еще полны, так что вы все равно будете знать, как эволюционирует собственная функция импульса.

Что приводит к вещам, которых я не увидел в вашем посте, ни единой вещи об измерении или прогнозировании.