Собственные состояния оператора рождения

Что ж, вот формальный ответ «жаворонка» на месте штанов, отправляющийся в «сфальсифицированные» пространства Фока и места, в которых вам (или кому-либо другому) на самом деле не следует находиться; за исключением того, что вы, возможно, уже были там , когда узнали о бюстгальтерах и кетах, если вы заглянули в книгу QM Дирака ― загадочным образом этот раздел практически все современные тексты пропускают!

Я расскажу о вашем вопросе о пространстве Фока, но в основном как введение в возвышенную картину Дирака , которая заслуживает внимания. В этом смысле этот неформальный формальный ответ исключительно снисходителен.

Действительно, для когерентных состояний

$$|\alpha\rangle= e^{-|\alpha|^2/2 } e^{\alpha a^\dagger}|0\rangle ,$$ где$a|0\rangle =0$и$[a,a^\dagger]=1$, вы обнаружите, что$a|\alpha\rangle=\alpha | \alpha\rangle$. Присоединенное/двойственное отношение в вашем (1) есть не что иное, как это, так что они действительно не говорят вам что-то новое , и они не являются «левыми» собственными состояниями отношения$a^\dagger$в любом значимом смысле, кроме тривиального. Вы просто смотрите на одни и те же состояния в двойном пространстве.

Строгие доказательства связанных вопросов, исключающие собственные состояния$a^\dagger$однако имеют ненадежную формальную лазейку. Странное (ненормируемое) состояние

$$|\psi\rangle=\delta(a^\dagger - \beta ~ \mathbb{I}) |0\rangle =\frac{1}{2\pi} \int \!\! dk ~e^{ik(a^\dagger -\beta)} |0\rangle \\ =\frac{1}{2\pi}\int\!\! dk~\exp(-ik\beta) \left (|0\rangle+ ik |1\rangle + ... +(ik)^n/\sqrt{n!}|n\rangle +...\right ) \\ = \delta(\beta)|0\rangle -\partial_\beta \delta (\beta)|1\rangle +...+{(-\partial_\beta )^n \delta(\beta)\over \sqrt{n!}}|n\rangle+...$$ формально удовлетворяет $$a^\dagger | \psi\rangle=\beta| \psi\rangle,$$ и является искомым правым собственным состоянием$a^\dagger$, поэтому, если вы создаете/добавляете возбуждение, оно действительно не меняется, как указано в вашем (2).

По сути, это формальная непрерывная суперпозиция бесконечности наклонных когерентных состояний, аналогичная дираковской.$|x\rangle$, откуда оно, конечно же, пошло; см. ниже.

Я не знаю, вошли ли эти состояния каким-то запутанным техническим образом в квантовую оптику как в инструмент, но, честно говоря, я заканчиваю эту часть обсуждения, рассматривая ее как разминку для прекрасной теории кетов Дирака, которая он подробно описывает в своей классической книге QM (4-е изд.), Ch III §20 и Ch IV §22, §23.

---

Большинство формальных маневров, которые мы видели до сих пор, алгебраически отображаются в популярной свободной аналогии в стандартные скобочные сущности и операторы Дирака,

$$a^\dagger \rightsquigarrow \hat x , \qquad a \rightsquigarrow \hat p , \qquad [a^\dagger,a]=1 \rightsquigarrow [\hat x , \hat p]= i\hbar.$$

Забудем о созидателях и аннигиляторах, если они вас смущают, и начнем со стандартного кета Дирака ,

$$\rangle\equiv \sqrt{2\pi\hbar } |\varpi\rangle.$$ Я ввожу свое собственное обозначение в правой части, чтобы смягчить культурный шок, который оттолкнул поколения: под этим я подразумеваю стандартный трансляционно-инвариантный вакуум, бесконечный x-вектор с одним и тем же постоянным компонентом в каждой записи, так что перевод оставляет его. инвариант. (Поскольку вы уже знаете окончание этого обозначения, оно окажется$\lim_{p\to 0} |p\rangle\equiv |\varpi\rangle$. Я не буду использовать 0 вместо$\varpi$, поскольку я хочу напомнить вам, что это p-собственное состояние, а не x-собственное состояние. Итак, на этой картинке$\hat p$s являются аннуляторами и$\hat x$создатели.)

Таким образом, это аналог вакуума когерентного состояния, нулевое состояние$\hat p$,

$$\bbox[yellow,5px]{ \hat p |\varpi\rangle = 0}.$$

Затем Дирак определяет

$$\bbox[yellow,5px]{ |x\rangle = \delta(\hat x -x)|\varpi \rangle \sqrt{2\pi \hbar}},$$ и $$\bbox[yellow,5px]{ |p\rangle = e^{ip\hat x /\hbar} | \varpi \rangle},$$ состояние нулевого импульса с преобразованием импульса,$e^{p \partial_{\varpi}} | \varpi \rangle$, аналог когерентного состояния!

Убедитесь, что, следовательно,

$$\langle x | p\rangle = \sqrt{2\pi \hbar} \langle \varpi | \delta (\hat x - x ) e^{ip\hat x /\hbar} |\varpi\rangle =e^{ip x /\hbar} \langle x |\varpi\rangle = e^{ip x /\hbar} /\sqrt{2\pi \hbar},$$ поскольку проекция всех x-собственных состояний на стандартный кет одинакова, и $$\hat p |p\rangle = \hat p e^{ip\hat x /\hbar}|\varpi\rangle = p|p\rangle , \qquad \hat x |x\rangle = \hat x \delta(\hat x -x)|\varpi \rangle \sqrt{2\pi \hbar}=x |x\rangle,$$ свойства, с которых начинается большинство учебников по QM.

(Но, к моему удивлению, когда я впервые узнал об этом, Дирак, очевидно, понял структуру когерентных состояний задолго до их официального возникновения...)

Если вы должны иметь ментальную картину этих бесконечномерных векторов в x -базисе,$|x\rangle$вектор имеет только ненулевую запись в x=n -м слоте, поэтому он предельно точен; но$|\varpi \rangle$вектор предельно широк и имеет, скажем, 1 в каждой отдельной записи, соответствующим образом нормализованной нормализацией континуума этих монстров; и$|p\rangle$вектор такой же широкий и имеет записи вокруг 0-го слота, которые выглядят как$...,e^{-2ip}, e^{-ip}, 1,e^{ip},e^{2ip},e^{3ip},...$. Поклонники конечного преобразования Фурье признают их похожими на любимые векторы.

---

---

Надстройка NB, направленная на защиту от непрохождения

Сквозь всю эту оргию задействованных распределений можно увидеть строго формальную лазейку запретного доказательства,

$$a^\dagger \left (\delta(\beta)|0\rangle -\partial_\beta \delta (\beta)|1\rangle +...+{(-\partial_\beta )^n \over \sqrt{n!}}\delta(\beta)|n\rangle+... \right ) \\ = \beta \left ( \delta(\beta)|0\rangle -\partial_\beta \delta (\beta)|1\rangle +...+{(-\partial_\beta )^n \over \sqrt{n!}}\delta(\beta)|n\rangle+...\right ).$$ Обратите внимание на «загвоздку»$|0\rangle$член справа обращается в нуль в силу$\beta \delta(\beta)=0$, второй срок$-\beta \partial_\beta \delta(\beta) = \delta (\beta)$и т. д. Конечно, гиперформальные, но операторно-значные распределения являются источником жизненной силы КТП, и задача «очистки» ландшафта, предпринятая аксиоматической КТП, все еще не завершена ... В КТ люди стали ожидать некоторых трюков с фальсификацией. все уладит, но я в этом не силен.

Правильно ли будет сказать, что$\langle\alpha\vert$является (левым) собственным вектором$\hat{a}^\dagger$? Можем ли мы использовать этот формализм и имеет ли он какой-то (физический) смысл?

Хммм... Я не знаком с конкретной физической интерпретацией этого. Однако учтите, что если$u$является левым собственным вектором$A$, т.е. $uA=\alpha u$, то транспонирование + эрмитово сопряжение дает

$$A^\dagger u^\dagger=\left(uA\right)^\dagger=\left(\alpha u\right)^\dagger=\alpha^\ast u^\dagger$$

Теперь обозначим$B\equiv A^\dagger$,$v\equiv u^\dagger$и$\lambda=\alpha^\ast$так

$$Bv=\lambda v$$

Это означает, что изучение левых собственных векторов эквивалентно изучению правых собственных векторов. В выборе стороны нет ничего особенного.

Ввиду сказанного, я бы сказал, что часто встречающийся наивный аргумент: «когерентное состояние похоже на классическое состояние, потому что при аннигиляции возбуждений оно не меняется», скорее неверен. На самом деле должно быть верно и обратное, что имеет место только в том случае, если$\vert\alpha\rangle$является собственным состоянием$\hat{a}^\dagger$также.

Мне тоже не нравится этот аргумент. Сходство когерентных состояний с классическими состояниями является следствием их динамики, являющейся результатом гамильтониана.

Первый вопрос уже был рассмотрен в других ответах, но я резюмирую его для полноты:$a^\dagger$не имеет правых собственных векторов , но имеет левые собственные векторы ,

$$\langle\alpha | = |\alpha\rangle^\dagger = e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(\alpha^*)^n}{\sqrt{n!}}\langle n|,$$ именно так, как предложено в вопросе. Этот факт обычно используется при выводе формулировки интеграла по траекториям в терминах когерентных состояний. Это действительно вопрос домашнего задания.

Относительно второго вопроса: утверждение о подобии когерентных состояний классическим состояниям обычно делается в контексте квантования электромагнитных полей, где полевые операторы представлены, например,

$$\hat{E}(x,t) =\lambda e^{-ikx}a^\dagger(t) + \lambda e^{ikx}a(t).$$ С эволюцией операторов рождения и уничтожения, заданных невозмущенным гамильтонианом,$a(t)=ae^{_i\omega t}, a^\dagger(t)=a^\dagger e^{i\omega t}$, усреднение по когерентным состояниям дает $$\langle \alpha | \hat{E}(x,t)|\alpha\rangle = \lambda e^{-ikx+i\omega t}\alpha^* + \lambda e^{ikx-i\omega t}\alpha = E_0\cos(kx-\omega t+\phi),$$ т. е. классическое выражение для напряженности электрического поля. С другой стороны, в номере указано,$|n\rangle$не имеют прямого классического соответствия - значения электромагнитных полей в этих состояниях не определены. Это соответствие когерентному электромагнитному полю является причиной того, что эти состояния называются когерентными .