Когерентные состояния квантового гармонического осциллятора

Хороший способ подумать$\lambda$состоит в том, чтобы рассматривать когерентное состояние как смещенное основное состояние гармонического осциллятора . Письмо$\lambda=\lambda_r+i\lambda_i$с$\lambda_{r,i}$действительная и мнимая части$\lambda$соответственно,

$$\langle\lambda \vert \hat x\vert \lambda \rangle=\sqrt{\frac{2\hbar}{m\omega}}\lambda_r\, ,\qquad \langle\lambda \vert \hat p\vert \lambda \rangle=\sqrt{ 2m\hbar\omega}\lambda_i\, .$$ Ясно, что возможные смещения в $(x,p)$плоскости не ограничены, поэтому нет ограничений на возможные значения $\lambda_r$и $\lambda_i$.

Поскольку основное состояние гармонического осциллятора имеет форму Гаусса, плотность вероятности в$x$сосредоточено не на происхождении, а на$\lambda_r$, а вероятность в$p$сосредоточено около$\lambda_i$. Это становится очевидным, если взглянуть на функцию Вигнера когерентного состояния . Таким образом, усечение базиса состояний гармонического осциллятора$\{\vert n\rangle\}$обычно делается по физическим причинам после значения$n$достаточно большой, чтобы захватить «большую часть» плотности вероятности.

Обратите внимание, что когерентное состояние не является собственным состоянием гамильтониана гармонического осциллятора, поэтому его плотность вероятности будет зависеть от времени.

1. С числовыми коэффициентами, как вы их (правильно) определили,$|\lambda⟩$является собственным состоянием$a$для всех комплекснозначных$\lambda\in\mathbb C$. Это может показаться странным, но помните, что оператор уничтожения не является самосопряженным и ненормальным , поэтому спектральные свойства могут исходить из гораздо более широкого набора возможностей, чем, скажем, компактный самосопряженный оператор.

2. в$N$представлении оператор уничтожения принимает форму бесконечной матрицы , которую вы даете. Если вы урежете его, вы получите интересный и связанный объект, но это уже не тот же самый объект.

   В частности, сокращение до$N$фотонов или меньше превращает аннигиляцию в один блок Жордана с собственным значением$\lambda=0$; тогда это означает, что никаких других собственных значений не будет. Такое поведение совершенно нормально и полностью связано с усечением базиса.

Бессовестная вилка: в моей дипломной работе есть более глубокое исследование этих тем - если вы можете читать физику по-испански ;-).