Почему логика первого порядка интересна философам?

Во-первых, тот факт, что отношение предков не может быть определено в FOL, сам по себе не является философской трудностью. Это относится в основном к проблеме непротиворечивости и полноты, а также к их омега-аналогам в бесконечных областях. Вряд ли это означает, что ВОЛС крайне ограничен.

Ваш вопрос можно разумно разделить на отдельные компоненты.

1. Почему философы вообще интересуются логикой?
2. Почему логика предикатов, а не теория типов, лямбда-исчисление, теория категорий или какая-то другая формулировка?
3. Почему логика первого порядка, а не второго порядка?
4. Почему классическая логика отличается от неклассической логики?

№1. Логика давно интересует философов: по крайней мере, со времен Аристотеля. Логика помогает отточить формулировку аргумента, чтобы мы могли ясно видеть, что именно выражается. Это помогает отличить действительные аргументы от недействительных. Это помогает разбить сложное доказательство на отдельные шаги, которые более очевидны. Это помогает выявить предположения и скрытые предпосылки. Модальные расширения логики и связанная с ними возможная мировая семантика оказались очень плодотворными в различных философских теориях.

№ 2. Многие системы логики справляются с этими задачами более или менее хорошо, но логика предикатов первого порядка занимает особое место в истории логики. Логика до изобретения логики предикатов и теории моделей была слишком слабой. С другой стороны, логика, которая была разработана в конце 20-го века, более сложна и, возможно, трудна для понимания студентами-философами.

№3. Некоторые философы, использующие логику, действительно используют SOL, но опять же, его труднее понять, и он создает дополнительные проблемы. SOL не имеет общей системы аксиом для своей семантики и общей теории доказательств. У FOL есть все виды хороших свойств, которые перечислены в вопросе, который вы связали. Кроме того, многое из того, что обычно выражается с помощью SOL, может быть обработано с помощью множественной количественной оценки.

№ 4. По моему опыту, философы обычно более открыты для использования неклассической логики, чем математики. Были философы, которые защищали определенные логики, такие как Майкл Даммит с интуиционистской логикой, Стивен Рид с логикой релевантности и Грэм Прист с диалектической логикой. Есть также философы, которые придерживаются плюралистического подхода к использованию логики. Применение различных логик имеет интересные последствия в философии языка и в метафизике.

Позвольте мне добавить к существующим (очень хорошим) ответам.

Во-первых, в вашем вопросе подразумевается, что философский интерес исходит из силы . Это неоправданно, особенно учитывая общий компромисс между силой и приручением . Более слабая логика соответствует более простым типам аргументов, и это может быть очень интересным в данном контексте.

Во-вторых, логика первого порядка на самом деле не так слаба, как кажется; скорее, это зависит от контекста . Например, верно, что если S является структурой, а R является бинарным отношением на S , которое определимо первого порядка в S , транзитивное замыкание R * отношения R не обязательно должно быть определимо первого порядка в S . Однако если вместо того, чтобы ограничиваться самим S, мы посмотрим, что мы можем сказать с помощью логики первого порядка во всей теоретико-множественной вселенной V , в которой Sжизни определение транзитивных замыканий тривиально просто. Дело в том, что логика первого порядка, не имея априори слишком мощных инструментов, позволяет нам отслеживать, какую информацию мы используем при определении объекта: приведенный выше контраст демонстрирует в некотором смысле, что определение транзитивных замыканий требует нетривиальной информации помимо того , что структура должна предоставить нам в целом, и это интересно отметить.

Пара быстрых замечаний по этому поводу:

• Сравните критику Куайна (покупаете вы ее или нет) логики второго порядка как «теорию множеств в овечьей шкуре» — дело в том, что логика второго порядка, возможно, выходит за пределы данной рассматриваемой структуры в неприемлемой степени .

• Это связано с ролью ZFC как базовой системы; Я немного сказал об этом в ответе на ваш вопрос на math.stackexchange . Идея о том, что логика первого порядка + ZFC функционируют в качестве основы для математики, является своего рода одновременным получением и поеданием пирога: мы выигрываем от укрощенности FOL, в то время как аксиомы ZFC гарантируют нам достаточную выразительную силу для того, что мы действительно хотим сделать.

Итак, подведем итог: сила — это не все, что нужно, а слабость первопорядковой логики — лишь одна грань более сложной истории. Помимо этого, логика первого порядка представляет дополнительный интерес из-за ее более технических свойств (компактность, полнота, Ловенгейм-Скулем, неполнота, интерполяция, ...) . Он также обладает некоторыми интересными мета-свойствами , обеспечиваемыми теоремой Линдстрема и ее вариантами. Желательны они или неудачны, но все они безусловно интересны .

Наконец, я думаю, что история логики первого порядка еще больше мотивирует ее как тему; об этом много написано, но статья SEP является хорошей отправной точкой. Эта статья Феррейроса также является отличным источником, несмотря на то, что ее общая цель состоит в том, чтобы мотивировать логику, отличную от логики первого порядка. (Хосе Феррейрос: Дорога к современной логике - интерпретация , Бюллетень символической логики, том 7, № 4 (декабрь 2001 г.), стр. 441-484)

У FOL есть определенные ограничения, в частности, теорема Ловенгейма-Скулема, поэтому мы должны использовать HOL для моделей, которые несчетно бесконечны, потому что, используя счетно бесконечное количество предложений, мы всегда можем построить счетную модель. Для очень элементарных определений в математике, таких как свойство наименьшей верхней границы для действительных чисел (или разрезы Дедекинда), мы должны использовать логику второго порядка. Логика первого порядка достаточна для большей части арифметики, но математическая индукция является вторым порядком (на ум приходит омега-неполнота), которую мы часто используем в арифметике, что, в свою очередь, эквивалентно аксиоме выбора и принципу хорошего порядка (который интуитивисты отвергают). .

Сказав это, сначала мы должны ответить на вопрос, почему любой из нас вообще должен интересоваться какой-либо символической логикой. Многие профессиональные математики также не находят символическую логику интересной или полезной. Большую часть времени мы используем метаязык, чтобы понять, как доказательство существует на объектном языке с помощью полезных металогических теорем и вспомогательных правил вывода (Определено в Клини, Стивен (1980). Введение в метаматематику. Северная Голландия. С. 102–102). 106. ISBN 9780720421033).

Основная причина, по которой мы вообще разработали символическую логику, заключалась в том, чтобы просто сосредоточиться на синтаксисе и вообще не учитывать семантику, выполнять механическое перестановку символов и при этом иметь возможность правильно рассуждать, а именно. надежность. Можно утверждать, что мотивация развития символической логики заключалась в том, чтобы позволить машине Тьюринга рассуждать за нас. Давид Гильберт уже показал, что в плоской геометрии (Евклид) вам не нужно понимать, что означают точка или линия, но при этом быть в состоянии доказать правильные теоремы, просто используя синтаксические манипуляции.

Логика первого порядка интересна с философской точки зрения, когда дело доходит до понимания ограничений машин Тьюринга по сравнению с человеческим познанием, потому что она демонстрирует как надежность, так и полноту. По этой проблеме было много спекуляций, даже самим Куртом Гёделем, который дал дизъюнкцию, что либо разум является машиной, либо существует бесконечно много диофантовых уравнений, которые не могут быть решены, как следствие омега-неполноты ЛЖ. Это также удобно, когда вы спорите или проверяете аргументы. Короткий ответ: несмотря на свои ограничения, FOL полезен. Мы прекрасно осознаем его ограничения, и мы также понимаем, что если мы хотим обойти его ограничения, то должны пожертвовать надежностью и полнотой. Всякий раз, когда какой-либо аргумент можно выразить либо в FOL, либо в пропозициональной логике, следует придерживаться этого, потому что это намного надежнее. Я лично думаю, как и Пуанкаре, что логика хороша для проверки вещей, но бесполезна для создания новых вещей. Могут быть разные мнения, но мы уже знаем, что 3-SAT является NP-полным, поэтому мы должны пожелать себе удачи в получении семантически верных утверждений с помощью компьютера. Что касается отношений «предков» в определении FOL, я не вижу в этом проблемы. Что я могу сказать, так это просто используя FOL и теорему о компактности, что ∃ x ∀ n ∈ N x < 1/n, что, как мне кажется, Лейбниц утверждал как в своем исчислении, так и в монадологии, но не смог доказать. Одним из следствий этого результата является то, что теперь философ и физик-теоретик должны рассматривать бесконечно малые в своей науке, метафизике и патафизике. как считал Пуанкаре, логика хороша для проверки вещей, но бесполезна для создания новых вещей. Могут быть разные мнения, но мы уже знаем, что 3-SAT является NP-полным, поэтому мы должны пожелать себе удачи в получении семантически верных утверждений с помощью компьютера. Что касается отношений «предков» в определении FOL, я не вижу в этом проблемы. Что я могу сказать, так это просто используя FOL и теорему о компактности, что ∃ x ∀ n ∈ N x < 1/n, что, как мне кажется, Лейбниц утверждал как в своем исчислении, так и в монадологии, но не смог доказать. Одним из следствий этого результата является то, что теперь философ и физик-теоретик должны рассматривать бесконечно малые в своей науке, метафизике и патафизике. как считал Пуанкаре, логика хороша для проверки вещей, но бесполезна для создания новых вещей. Могут быть разные мнения, но мы уже знаем, что 3-SAT является NP-полным, поэтому мы должны пожелать себе удачи в получении семантически верных утверждений с помощью компьютера. Что касается отношений «предков» в определении FOL, я не вижу в этом проблемы. Что я могу сказать, так это просто используя FOL и теорему о компактности, что ∃ x ∀ n ∈ N x < 1/n, что, как мне кажется, Лейбниц утверждал как в своем исчислении, так и в монадологии, но не смог доказать. Одним из следствий этого результата является то, что теперь философ и физик-теоретик должны рассматривать бесконечно малые в своей науке, метафизике и патафизике. Могут быть разные мнения, но мы уже знаем, что 3-SAT является NP-полным, поэтому мы должны пожелать себе удачи в получении семантически верных утверждений с помощью компьютера. Что касается отношений «предков» в определении FOL, я не вижу в этом проблемы. Что я могу сказать, так это просто используя FOL и теорему о компактности, что ∃ x ∀ n ∈ N x < 1/n, что, как мне кажется, Лейбниц утверждал как в своем исчислении, так и в монадологии, но не смог доказать. Одним из следствий этого результата является то, что теперь философ и физик-теоретик должны рассматривать бесконечно малые в своей науке, метафизике и патафизике. Могут быть разные мнения, но мы уже знаем, что 3-SAT является NP-полным, поэтому мы должны пожелать себе удачи в получении семантически верных утверждений с помощью компьютера. Что касается отношений «предков» в определении FOL, я не вижу в этом проблемы. Что я могу сказать, так это просто используя FOL и теорему о компактности, что ∃ x ∀ n ∈ N x < 1/n, что, как мне кажется, Лейбниц утверждал как в своем исчислении, так и в монадологии, но не смог доказать. Одним из следствий этого результата является то, что теперь философ и физик-теоретик должны рассматривать бесконечно малые в своей науке, метафизике и патафизике. отношение идет в определении FOL, я не вижу в этом проблемы. Что я могу сказать, так это просто используя FOL и теорему о компактности, что ∃ x ∀ n ∈ N x < 1/n, что, как мне кажется, Лейбниц утверждал как в своем исчислении, так и в монадологии, но не смог доказать. Одним из следствий этого результата является то, что теперь философ и физик-теоретик должны рассматривать бесконечно малые в своей науке, метафизике и патафизике. отношение идет в определении FOL, я не вижу в этом проблемы. Что я могу сказать, так это просто используя FOL и теорему о компактности, что ∃ x ∀ n ∈ N x < 1/n, что, как мне кажется, Лейбниц утверждал как в своем исчислении, так и в монадологии, но не смог доказать. Одним из следствий этого результата является то, что теперь философ и физик-теоретик должны рассматривать бесконечно малые в своей науке, метафизике и патафизике.

В заключение, философы интересуются ВОЛ, потому что есть положительные результаты в его изучении философами, теоретиками моделей, теоретиками доказательств и так далее. Есть некоторые истины, если мы определили нашу семантику, мы можем убедительно показать, что остается сомнительным в любом метаязыке. Оно живое, и в нем еще есть что понять и интерпретировать.

Короткий ответ

FOL - это простая модель человеческого мышления, и, как и простые модели в целом, это педагогическая помощь в ознакомлении учащихся с формальными аспектами логики, не будучи громоздкой и чрезмерно сложной. В конце концов, можно было бы возразить, зачем учить многим формальным логикам, поскольку они явно являются ограниченным аспектом самого человеческого разума, который в значительной степени поддается пересмотру и использует естественный язык .

Длинный ответ

Ваш вопрос касается нескольких аспектов философии, включая педагогические, исторические и технические аспекты логики. Начнем с простого вопроса:

Зачем учить ребенка считать, если инженерное дело требует здорового использования высшей математики?

В этом ключе очевидно, почему преподается FOL, учитывая присущие ему ограничения в описании человеческого разума. Во-первых, как можно учить SOL, если FOL не понимают? Итак, на вашем языке оригинала вопрос не в интересе, а в полезности. Любая формальная система при первом знакомстве может показаться интересной, а затем стать неинтересной после освоения (и неоднократного обучения студентов). Но точно так же, как большинство из нас, склонных к математике, не находят удовольствия в счете и арифметике, это абсолютно жизненно важный теоретический и практический строительный блок для оценки мощности бесконечных множеств, определения мест пересечения в топологии, и оценка монотонности бесконечных рядов.

Существует точка зрения, что темы исследования переходят из области философии в область науки, когда они становятся систематизированными, стандартизированными, понятными и надежными. Напротив, живые философские темы спекулятивны, открыты, непонятны и противоречивы почти по определению. Другими словами, философы изобретают науки, а не практикуют их по большому счету.

Учитывая, что современная формальная логика, возможно, является самой молодой крупной наукой, возникшей непосредственно из философии, мы можем сказать, что хорошо понятая логическая система, подобная ЛОЛ, представляет убывающий философский интерес именно по тем же причинам, по которым она оказалась столь ценной в таких областях, как как математика и информатика.

Логика до сих пор часто рассматривается как философская тема, потому что она так долго была частью философской сферы и сравнительно недолго была наукой. Но большая часть фактической философской работы теперь выполняется в менее стандартизированной логике.