Я немного подумал об этом и просто хочу убедиться, что я на правильном пути, или меня нужно исправить. По сути, мой ответ таков: да, вам всегда нужно указывать домен при формализации в логике предикатов, неограниченный домен приводит к парадоксам. Думаю, в целом я не совсем уверен, на чем основано требование указать домен в логике предикатов, кроме того, что это требование доказательств полноты или других видов доказательств для этого.
С другой стороны, неограниченная область на первый взгляд кажется безобидной, поскольку, когда вы говорите: «Все люди смертны», первый предикат «человек» действительно ограничивает для вас область. Тем не менее, это может позволить другие «категории» «человека», которые вы не предполагали: вымышленные мужчины, люди в будущем, игрушечные солдатики и т. д. онтологическая/семантическая категория, либо категория должна содержаться в сказуемом. В качестве примера последнего в предикате «человек» выше может подразумеваться, что категория ограничена современными, живыми и реальными людьми.
Поскольку я думал о категориях и задавался вопросом о доменах в контексте «ошибок категорий», я нашел статью SEP о «Категориях», и там они (ссылаясь на кого-то по имени Томассон) связали домены с трудностью парадокса Рассела. Итак, во-первых, не является ли неограниченная область причиной парадокса Рассела? Во-вторых, есть ли какая-то философская связь между парадоксом Рассела и тем, что известно как онтологические или семантические категории? Под онтологическими категориями я подразумеваю системы Аристотеля, Канта и др. Под семантическими категориями я подразумевают анализ категориальных ошибок Райлом, Соммерсом и др.
В теории множеств различие, о котором вы спрашиваете, переводится в вопрос о том, должна ли область модели быть множеством или разрешено ли ей быть надлежащим классом. Это важное различие, порождающее множество тонких вопросов. Во многих математических контекстах у нас возникает искушение допустить структуру, домен которой является надлежащим классом, и вопрос заключается в том, разумно ли это делать.
Например, теорема Гёделя о полноте утверждает, что теория первого порядка непротиворечива тогда и только тогда, когда у нее есть модель. В этой теореме под «моделью» следует понимать модель, областью определения которой является множество.
В структуре первого порядка, областью определения которой является собственный класс, мы вообще не можем в обычной ZFC-аксиоматизации теории множеств принять рекурсивное определение истины Тарского, и это не тот случай, когда каждая модель правильного класса имеет предикат удовлетворения .
Например, когда Гёдель доказал относительную непротиворечивость аксиомы выбора над ZF, он построил правильную структуру классов L, называемую конструируемой вселенной , и доказал в ZF, что каждая аксиома ZFC выполняется в L. Но это всего лишь схема теоремы, утверждение о каждой аксиоме ZFC в отдельности, и нельзя вообще даже формализовать утверждение «L есть модель ZFC» как отдельное утверждение.
Это одна из причин, по которой теорема является лишь результатом относительной непротиворечивости. Хотя Гёдель построил модель ZFC, это была модель правильного класса, и этого недостаточно для доказательства непротиворечивости теории, поскольку теорема о полноте требует модели набора теории. Но если у нас есть заданная модель ZF, то мы можем построить L относительно этой модели и тем самым получить заданную модель ZFC. Итак, он доказал, что если ZF непротиворечива, то ZFC непротиворечива.
Между тем, многие приложения теории категорий приводят к желанию сформировать собственные категории классов, такие как категория всех групп или категория всех частичных порядков. Поскольку кто-то хочет провести дополнительный теоретико-категориальный анализ поверх этих категорий, это приводит к проблемным вопросам, подобным парадоксу Рассела. Чтобы предотвратить эту проблему, теоретики категорий расслаивают вселенную на уровни, формируя малые и большие категории по аналогии с различием между наборами и классами в теории множеств. Аксиома вселенных — это удобный способ утверждать, что существует достаточно уровней для большинства подобных анализов. Эта аксиома эквивалентна существованию собственного класса недоступных кардиналов и, следовательно, является мягкой аксиомой больших кардиналов, сильной аксиомой бесконечности.
Если у вас есть система формальной логики, в которой ваши предикаты могут принимать другие предикаты в качестве аргументов, это быстро приводит к парадоксам вроде
Существует такой человек, что он стрижет всех и только мужчин, которые не стригут себе волосы.
(Он сам себе волосы стрижет?)
Это тесно связано с парадоксом Рассела, который представляет собой ту же проблему в теории множеств. Это привело к развитию логики первого порядка, в которой область определения любого предиката не может включать функции или предикаты. Статья в Википедии о парадоксе Барбера более подробно описана и содержит формальную логическую интерпретацию парадокса. http://en.wikipedia.org/wiki/Парикмахерская_парадокс
Унан Ростомян
Дэн Д.
Кевин Холмс