Почему механика сплошной жидкости точна, если ее составляющие представляют собой дискретные объекты конечного размера?

Есть много физических интуиций, часто представленных в различных текстах по гидродинамике. Я не буду упоминать их здесь. Я, однако, упомяну, что математически переход от точки зрения частицы к точке зрения континуума все еще остается в значительной степени нерешенной проблемой. (При подходящей интерпретации эта проблема уже была поставлена ​​Гильбертом как шестая из 23 проблем.)

Мы можем интерпретировать проблему как одну из попыток начать с «ньютоновского описания частиц, взаимодействующих посредством столкновений» и попытаться закончить «аппроксимацией физической системы континуумом, подчиняющимся определенным законам гидродинамики (Эйлера, Навье-Стокса и т. д.). .)"

Большая часть работы, проделанной в настоящее время, представляет собой промежуточный шаг в уравнении Больцмана : в этой модели кинетической теории вместо отдельных частиц мы рассматриваем распределения частиц, где «плотность» частиц задается на основе как положения, так и скорости. Таким образом, получается один уровень континуального приближения. Но она по-прежнему сохраняет грань ньютоновской теории, согласно которой частицы взаимодействуют посредством прямых столкновений. Согласно предположению, известному как молекулярный хаос(подробнее об этом позже), то, что уравнение Больцмана следует из ньютоновских законов движения, было продемонстрировано с разной степенью строгости самим Больцманом, а также Градом, Черчиньяни и Ланфордом, основываясь на работах Боголюбова, Борна, Грина. , Кирквуд и Ивон. За математически сложным, но более или менее самодостаточным описанием можно обратиться к статье Учиямы . Есть несколько проблем с этим выводом.

1. Проблема потенциалов. Выводы, перечисленные выше, предполагали, что частицы представляют собой твердые сферы : что единственное взаимодействие между двумя частицами происходит, когда они фактически сталкиваются (поэтому нет межмолекулярных сил, опосредованных электромагнетизмом, таких как водородные связи и т. д.), и что частицы имеют сферическую форму . Этого достаточно для одноатомных газов, но в меньшей степени для двухатомных молекул или молекул еще более странной формы. Однако большинство людей не считают это большой проблемой.
2. Вывод действителен только при так называемом предположении о пределе Града . Чтобы взять континуальный предел, обычно делается предположение, что диаметр частиц уменьшается до нуля, а количество частиц (в единице объема) увеличивается до бесконечности. Именно то, как уравновешиваются эти два предела, влияет на то, как выглядят физические законы в континуальном пределе. Предел Града предполагает, что квадрат диаметра частицы масштабируется как обратная величина числовой плотности. Это означает, что реальный объем , занимаемый самими частицами (в отличие от свободного пространства между частицами), в этом пределе уменьшается до нуля. Таким образом, в пределе Града фактически получается бесконечно разбавленный газ. Это некоторая проблема.
3. В выводе также используется то, что называется молекулярным хаосом.: он предполагает, что, вообще говоря, единственный тип столкновения, который имеет значение, — это столкновение между двумя частицами, и что частица после столкновения «забывает» о своем предыдущем зигзаге среди своих кузенов в разбавленном газе. В частности, мы полностью игнорируем случай одновременного столкновения трех или более частиц и как бы игнорируем бильярдный трюк, например множественные отскоки. Хотя и то, и другое можно в какой-то степени оправдать, основываясь на физической интуиции (первое — тем, что если у вас есть много маленьких частиц, разнесенных далеко друг от друга, шансы того, что три из них столкнутся одновременно, намного меньше, чем две из них). их столкновение; во-вторых, тем, что вы предполагаете некое локальное термодинамическое равновесие [отсюда и название молекулярный хаос]),

Начиная с уравнения Больцмана, можно прийти к уравнениям Эйлера и Навье-Стокса, проделав довольно большую работу. В последнее время этой проблеме посвящено много математической литературы, и при разных предположениях (в основном, как числа Рейнольдса и Кнудсена ведут себя в пределе) получаются разные версии уравнений жидкости. Достойный обзор литературы был написан Ф. Голсом , в то время как подробное математическое обсуждение современного состояния можно найти в книге Лоры Сен-Раймонд « Гидродинамические пределы уравнения Больцмана ».

Возможно, важно отметить, что все еще существуют режимы, в которых связь между уравнением Больцмана и пределами жидкости не полностью понята. И еще важнее отметить, что даже при наличии связи между кинетической (больцмановской) картиной и пределами жидкости все еще существуют различные допущения, сделанные при выводе уравнения Больцмана. Таким образом, мы все еще весьма далеки от того, чтобы строго обосновать континуальную картину жидкостей на основе корпускулярной картины ньютоновской динамики.

Теория жидкостей вводит материальные параметры в тензор напряжений , которые помогают моделировать вещество. «Коэффициент вязкости — это константа пропорциональности, связывающая градиент скорости в жидкости с силой, необходимой для поддержания этого градиента. Теплопроводность — это константа пропорциональности, связывающая градиент температуры в жидкости с потоком энергии, то есть закон Фурье о теплопроводность. Наконец, коэффициент диффузии - это константа пропорциональности, связывающая градиент концентрации частиц потока массы ». Конечно, это работает, только если работает.

Существует самосогласованный вывод уравнений Навье – Стокса относительно нескольких законов сохранения. Но для вас важны соображения, связанные с уравнением Больцмана , формализмом для газов в микроскопическом режиме. Здесь для многих систем вы можете найти макроскопические ожидаемые значения, которые подтверждают гидродинамику и дают микроскопические объяснения вязкости и т. д. Затем обычно говорят, что результаты «также справедливы для жидких систем».

Для предела можно предположить возмущение распределения Максвелла-Больцмана $f(t,\vec x)$, который слабо зависит от пространства и времени. Это приближение времени релаксации, или$0.5^{th}$порядок в теории Чепмена-Энскога . Отсюда можно вычислить средние плотности (частиц), средние скорости и средние кинетические энергии (температуры). Например

$$\vec V:=\langle \vec v\rangle$$ $$T(t,\vec x):=\frac{1}{3}\left\langle m\left(\vec v-\vec V\right)^2 \right\rangle,$$ где $\langle\dots\rangle$является средним значением распределения частиц, определяемым выражением $f(t,\vec x)$. Эта процедура дает макроскопическую/результатную скорость и локальное распределение температуры. В конечном итоге он удовлетворяет уравнению состояния, например $P=\frac{N}{V}k_B T$, или скорее $$P(t,\vec x)=n(t,\vec x)\ T(t,\vec x),$$ которые связывают макроскопические величины, такие как температура, с давлением, которое также дается как среднее и которое является частью тензора напряжений, о котором я упоминал выше. Дифференциальные уравнения, управляющие динамикой жидкостей, в конечном счете вытекают из сохранения импульса в обоих случаях. См. Керсон Хуанг: Статистическая механика, 2-е издание для вывода.