Почему моды линеаризованного возмущения метрики должны быть «волновыми функциями» гравитонов (в модели Рэндалла-Сандрума)?

Это небольшое злоупотребление терминологией, связанное с разговором о «втором квантовании». Слово «волновая функция» в данном случае на самом деле относится к «волновой функции одной частицы», которая соответствует решениям (линейных) классических уравнений движения. Оно не относится к «волновому функционалу», т. е. к представлению Шрединера полной квантовой теории поля, которое, конечно, является довольно сложным объектом.

Поработаем со скалярным полем$\phi(x)$живущий на некоторой фиксированной геометрии, описанной$g_{\mu\nu}$(нетрудно обобщить это обсуждение, включив в него вращение). Мы обсудим свободную теорию, которую можно рассматривать как первый шаг к созданию пертурбативной трактовки взаимодействующей теории.

Для свободного скаляра, подчиняющегося операторному уравнению

$$\begin{equation} \square \phi = \frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\mu\left(g^{\mu\nu}\partial_\nu \phi\right) = 0, \end{equation}$$ вы можете расширить функции режима $$\begin{equation} \phi(x) = \sum_{n} a_n u_n(x) + a_n^\dagger u_n^{\star}(x), \end{equation}$$ куда $u_n(x)$функции мод, связанные с волновым оператором, соответствующим образом нормированные. Например, для пространства-времени Минковского мы можем заменить сумму по $n$с интегралом $\sum_n \rightarrow \int d^3 p / (2\pi)^3$и соответствующим образом нормализованные функции режима: $u_n(x)\rightarrow u_p(x) = e^{i p\cdot x}/\sqrt{2 E_p}$.

Затем вы можете определить собственное состояние позиции (по крайней мере, формально) с помощью

$$\begin{equation} |x\rangle = \phi(x) |0\rangle = \sum_n u_n^\star a_n^\dagger |0\rangle = \sum_n u_n^\star |n\rangle. \end{equation}$$

Во взаимодействующей релятивистской квантовой теории поля понятие собственного состояния пространства положения одной частицы явно не определено четко, потому что вы не можете произвольно точно локализовать частицы, не имея вероятности создания пар частица/античастица. Но на уровне свободной теории это нормально, и если мы будем работать пертурбативно и прищуримся, мы можем представить, что понятие собственного состояния положения будет приблизительно правильным, пока мы помним, что это идеализация, и мы не пытаемся для вычисления физических величин, основанных на локализации частицы в пределах ее комптоновской длины волны (или вы могли бы быть более строгим и определять все в терминах волновых пакетов).

Продолжая игнорировать эту тонкость, мы можем определить волновую функцию состояния одной частицы$|n\rangle$его проекцией на собственное состояние положения

$$\begin{equation} \psi_n(x) \equiv \langle x | n \rangle = u_n(x), \end{equation}$$ куда $|n\rangle = a_n^\dagger |0 \rangle$(Обратите внимание, что $n$здесь не номер занятия, это метка режимов). Интуитивно частица является квантом моды $n$, что примерно соответствует небольшой вибрации в данной классической моде поля, что дает некоторое представление о том, где вы, вероятно, найдете эту частицу.

Таким образом, существует прямая связь между собственным состоянием положения одной частицы («волновой функцией») и режимами классических уравнений движения.

То, что вы обычно хотите в дополнительных измерениях, таких как Рэндалл-Сандрум, — это чтобы собственные состояния одной частицы были локализованы в дополнительных измерениях. Предположим, что пространство-время$4+1$многомерна, и наша Вселенная живет на бране с тремя пространственными измерениями, живущими в этом большем пространстве. Идея состоит в том, что если наблюдатель на бране создает гравитон, этот гравитон должен «выглядеть» как гравитон, соответствующий 3+1 измерениям, что, в свою очередь, гарантирует, что амплитуды рассеяния, вычисленные наблюдателем на бране, будут «выглядеть как» рассеяние. амплитуды для наблюдателя в 3+1-мерном пространстве-времени. (Точное определение «похоже» зависит от вашей установки и от экспериментальных ограничений на дополнительные измерения). Если это условие не выполняется, модель будет исключена, например, путем проверки закона обратных квадратов. Мы можем выполнить это условие, если волновая функция гравитона (= классическая мода, связанная с гравитонным волновым оператором = состояние 1 гравитона, спроецированное в базис положения) достаточно локализована на бране. В этом случае действие на вакуум (4+1) с помощью оператора создания гравитона из одной частицы создает состояние, которое «похоже» на состояние, которое вы получили бы в 3+1 измерениях, действуя с помощью оператора создания гравитона.

В физике нет ничего необычного в поэтапном квантовании сложной системы: сначала квантуют некоторые ее компоненты, а затем переходят к остальным. Мы делаем это постоянно, иногда неосознанно. Иногда это просто способ мышления. Возьмем, к примеру, простейший случай разложения Калуцы-Клейна, когда внутреннее пространство$S^1$:

$$g_{\mu\nu}(x, \theta) = \sum_{n\in \mathbb{Z}} g_{\mu\nu}^{(n)} e^{in\theta}$$ Это выражение, с одной стороны, представляет собой разложение по функциям, интегрируемым с квадратом, на окружности. Экспоненциальные функции — это просто ортонормированный базис волновых функций на окружности.
В теории Калуцы-Клейна поля $$g_{\mu\nu}^{(n)}$$ заряжены массивные гравитоны с $n$единицы заряда. (Заряд появляется как константа связи с полем U(1) $A_{\mu})$. Мы можем сказать, что эти гравитоны вращаются в пятом измерении и именно поэтому они получают свой заряд, или, что то же самое, у них есть внутренняя волновая функция. $e^{in\theta}$

Это описание не ограничивается теориями Калуцы Клейна. Более реалистичным примером может служить волновая функция вращающейся частицы, которую мы обычно записываем как:

$$\Psi = \psi(x) \otimes \psi_{s, m_s}$$ Где $x\in \mathcal{M}$конфигурационный коллектор. Обычно мы думаем о спиновой волновой функции $\psi_{s, m_s}$как спинор с конечным числом компонент. Но мы также можем описать спиновую волновую функцию как сечение линейного расслоения на сфере $S^2$. Таким образом, в этом случае мы можем думать о полной волновой функции (локально) как о функции $\Psi(x, \theta, \phi)$принадлежащий $\mathcal{M} \otimes S^2$(в более общем плане $S^2$связать $\mathcal{M}$). И вместо того, чтобы говорить, что волновая функция описывает вращающуюся частицу, мы можем рассматривать ее как волновую функцию скалярной частицы, движущейся во внутреннем пространстве. $S^2$.

Весь предмет выражения механической системы таким образом известен как субриманова геометрия.