Почему мой член 4-дивергенции, добавленный к лагранжиану, изменяет уравнение движения?

Я беру этот лагранжиан:

$$\mathcal{L}=\mathcal{L}_0+\partial_\alpha f(\phi, \partial_\mu \phi).$$

В этой теме Имеет ли значение для уравнений поля дополнительный член с четырьмя расхождениями в лагранжевой плотности? , говорят, что любой член 4-дивергенции, добавленный к лагранжиану, не изменяет уравнение движения.

В моем примере я добавляю$\partial_\alpha f(\phi, \partial_\mu \phi)$к$\mathcal{L}_0$(это не 4-дивергенция, но механика точно такая же). И я замечаю, что оно может изменить уравнение движения, если$f$содержит производные по времени от$\phi$. Так что я не понимаю.

Я записываю бесконечно малую вариацию действия в$\mathcal{L}$:

$$\delta S = \int d^4x ~ \delta \mathcal{L},$$

$$\delta S = \int d^4x ~ [ \frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi) + \partial_\alpha [\frac{\partial f}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial f}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi)] ~ ].$$

Как обычно, я знаю, что:$\delta(\partial_\mu \phi)=\partial_\mu \delta(\phi)$. Таким образом, я могу интегрировать по частям:

$$\delta S = \int d^4x ~ [ \frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial \phi} - \partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial (\partial_\mu \phi)} )\delta \phi + \int d^4x ~ \partial_\mu[\frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta \phi] + \int d^4x ~ \partial_\alpha [\frac{\partial f}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial f}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi)].$$

У нас есть:

$$\int d^4x ~ \partial_\mu[\frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta \phi] = \int d^3x ~ [\frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta \phi]_{x_i^{-}}^{x_i^{+}}=0.$$

Действительно,$\delta \phi=0$на границах по гипотезе ($x_i^{+}=+\infty$для пространственных координат и$t_f$На время).

У нас также есть:

$$\int d^4x ~ \partial_\alpha [\frac{\partial f}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial f}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi)]= \int d^3x ~ [\frac{\partial f}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial f}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi)]_{x_i^{-}}^{x_i^{+}}=\int d^3x ~ [\frac{\partial f}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi)]_{x_i^{-}}^{x_i^{+}}.$$

**А вот и моя проблема**.

Факт$\delta \phi(x_i^{+})=\delta \phi(x_i^{-})=0$не означает, что$\partial_\mu \delta \phi(x_i^{+})=\partial_\mu \delta \phi(x_i^{-})=0$.

Точнее, это могло бы быть правдой, если бы$x_i^{+}=-x_i^{-}=+\infty$(*) но если я возьму временные координаты, у меня$x_i^{+}=t_f$. Так что это как минимум не верно для$\mu=t$.

Таким образом, дополнительный член$\partial_\alpha f(\phi, \partial_\mu \phi)$изменяет экстремальность действия. Таким образом, у меня не будет того же уравнения движения.

Но в этой теме: имеет ли значение дополнительный член с четырьмя расхождениями в лагранжевой плотности для уравнений поля? в книге автора сказано, что любые четыре расхождения не влияют на уравнение движения.

Но мы видели здесь (если я не ошибся, что совсем не уверен), что если дополнительный член является полной производной, которая содержит производные поля по времени, он может изменить уравнения движения.

Где я не прав?

---

(*): это правда, потому что мы спрашиваем$\phi$стремиться к нулю на бесконечности, поэтому мы допускаем только вариации$\phi$которые исчезают в бесконечности (иначе мы получили бы$\phi+\delta \phi$не интегрируемый). И в качестве$(x,y,z) \mapsto \delta \phi(x,y,z,t)$идет к$0$на бесконечности также и все его производные.