Почему не все свободные частицы теряют свою кинетическую энергию?

Частицы не минимизируют свое действие. Вместо этого они минимизируют свое действие при определенных граничных условиях. Мы можем применять принцип действия только тогда, когда заранее знаем начальную и конечную точки.

Если мы знаем, что частица будет в месте$x_i$вовремя$t_i$и что это будет на месте$x_f$вовремя$t_f$, то частица выбирает путь наименьшего (или стационарного) действия между этими двумя точками. Стоять на месте, как правило, не вариант, потому что$x_i \neq x_f$в большинстве случаев. Проблема поставлена ​​таким образом, что частица вынуждена двигаться, просто по гипотезе, еще до того, как мы попытаемся минимизировать действие. Если$x_i = x_f$и у вас есть свободная частица, тогда действительно действие сводится к минимуму, если оставаться неподвижным, что и делает частица.

Проблема свободных частиц может быть решена с помощью теории относительности. Мы можем превратиться в рамку, где$x_i = x_f$, и в этой системе отсчета частица неподвижна. Преобразуясь обратно, частица движется с постоянной скоростью в исходной системе отсчета.

Поскольку это тихое воскресное утро, позвольте мне стряхнуть пыль с клеток моего мозга и посмотреть, смогу ли я вспомнить, как это сделать. Начнем с того, что заметим, что если начальное и конечное положение частицы как$\mathbf{r}(t_1)$и$\mathbf{r}(t_2)$, то действие такое:

$$S[\mathbf{r}(t)] = \int_{t_1}^{t_2} \tfrac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^2$$

Мы внесем изменения$\mathbf{r} \rightarrow \mathbf{r} + \delta\mathbf{r}$в этом случае действие становится:

$$S[\mathbf{r} + \delta\mathbf{r}] = \int_{t_1}^{t_2} \tfrac{1}{2}m \left(\dot{\mathbf{r}}^2 + 2\dot{\mathbf{r}}\cdot\delta\dot{\mathbf{r}} + \delta\dot{\mathbf{r}}^2\right)$$

Таким образом, изменение действия:

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \tfrac{1}{2}m \left(2\dot{\mathbf{r}}\cdot\delta\dot{\mathbf{r}} + \delta\dot{\mathbf{r}}^2\right)$$

и мы проделываем обычный трюк с бесконечно малыми числами, игнорируя квадраты и члены с большей степенью, чтобы получить:

$$\delta S = m\int_{t_1}^{t_2} \dot{\mathbf{r}}\cdot\delta\dot{\mathbf{r}}$$

Следующий шаг — хитрый трюк, о котором могут догадаться только самые способные физики (я не угадал :-). Используем интегрирование по частям:

$$\int u\dot v\, dt= uv\bigg|_{\text{end points}} - \int \dot u v\, dt$$

с$u = \dot{\mathbf{r}}$так$\dot u = \ddot{\mathbf{r}}$, и$\dot v = \delta\dot{\mathbf{r}}$так$v = \delta\mathbf{r}$, и это дает нам:

$$\delta S = \left[ m\dot{\mathbf{r}}\cdot\delta\mathbf{r} \right]_{t_1}^{t_2} - m \int_{t_1}^{t_2} \ddot{\mathbf{r}}\cdot\delta\mathbf{r}$$

Но конечные точки фиксированы, поэтому$\delta\mathbf{r}(t_1) = \delta\mathbf{r}(t_2) = 0$и первый член дает нуль:

$$\delta S = -m \int_{t_1}^{t_2} \ddot{\mathbf{r}}\cdot\delta\mathbf{r}$$

В экстремуме действия$\delta S = 0$, поэтому интеграл должен быть равен нулю. Однако$\delta\mathbf{r}$может быть чем угодно, как любая вариация$\mathbf{r}$позволено. Это означает, что интеграл может быть равен нулю, только если$\ddot{\mathbf{r}} = 0$, и после всей этой боли мы приходим к первому закону Ньютона:

$$\ddot{\mathbf{r}} = 0$$

Таким образом, свободная частица имеет постоянную скорость и, следовательно, постоянную кинетическую энергию.

Поскольку кто-то обязательно упомянет об этом (хотя это несколько выше моего личного уровня в этой области), теорема Нётер говорит нам, что если действие не зависит от времени, то энергия сохраняется. Так что нам не нужно было все это делать, чтобы сделать вывод, что кинетическая энергия не может измениться.