Почему уравнения Эйлера-Лагранжа остаются инвариантными, если мы добавляем к действию поверхностный член?

Ну, если у вас есть такой термин, как$\partial_\mu \mathcal{J}^\mu$, теорема о дивергенции позволяет вам преобразовать его в поверхностный член после интегрирования, чтобы найти действие, и, поскольку предполагается, что вариации исчезают на границе, этот член исчезает. Уравнения Эйлера-Лагранжа не меняются, потому что они возникают из-за того, что изменение действия равно нулю.

Пример: Предположим, у вас есть лагранжиан$\mathcal{L}_0$и добавьте дивергенцию, чтобы получить$\mathcal{L} = \mathcal{L}_0 + \partial_\mu \mathcal{J}^\mu$. Напомним, что действие (в вашем любимом количестве измерений):

Здесь S_0 — интеграл от$\mathcal{L}_0$, и$n^\mu$вектор нормали к вашей границе.

Уравнения движения являются условием того, что$\delta S = 0$к первому порядку всякий раз, когда мы делаем изменение в$\mathcal{L}$. Так:

Но$\mathcal{J}^\mu$строится из полей, для которых нужны уравнения движения. Поскольку по условию вариация полей на границе равна нулю, то и вариация$\mathcal{J}^\mu$. Последний член исчезает, и мы получаем$\delta S = \delta S_0$. Это означает, что eom не меняется, так как$\delta S = 0$эквивалентно$\delta S_0 = 0$.