Почему мы требуем, чтобы многообразия были топологическим пространством?

У вас много замечаний по поводу того, что «топология нужна для описания непрерывности, исчисления, понятия «похоже», гомеоморфизма и т.д.». И все это в целом верно, но я так понимаю, что ваш вопрос касается глобальной картины. Кроме того, следующее в основном касается топологического или дифференцируемого многообразия; Ссылка Джошфизики показывает, что существует много других концепций многообразия.

Начнем с понятия «локально выглядит как$\mathbb{R}^N$"; но вы можете иметь набор$\mathbb{M}$каких-либо странных существ, подмножества которых вы можете поставить во взаимно однозначное, сюръективное соответствие с некоторым открытым (подробнее об этом ниже) подмножеством$\mathbb{R}$(обычно односвязная окрестность начала координат). Для одного из этих подмножеств$\mathcal{N}$у вас есть карта "лейблеров"$\lambda:\mathcal{N}\to\mathbb{R}^N$. Тогда у вас по определению возникают понятия открытости , соседства и всего остального : подмножество$\mathcal{O}\subset\mathcal{N}$открыт тогда и только тогда, когда$\lambda(\mathcal{O})$открыт в$\mathbb{R}^N$. Так же "путь"$\sigma:\mathbb{R}\to\mathcal{N}$является$C^0,\,C^1\, C^\omega$или что-то в этом роде$\lambda\circ \sigma:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^N$имеет такое же свойство. Все концепции топологии, соседства, исчисления, дифференцируемости и т. д. затем определяются «назначением», и потребность в этих концепциях заключается в том, почему мы хотим, чтобы наш зоопарк странных существ «локально выглядел как$\mathbb{R}^N$" во-первых, так что все очень интуитивно понятно и очевидно.

Итак, я предполагаю (также, читая другие ваши вопросы на этом сайте), что вы уже все это понимаете. Таким образом, ключевой вопрос заключается в картах переходов и в том, как мы склеиваем все наши локальные копии$\mathbb{R}^N$вместе . Возвращаясь к нашему подмножеству$\mathcal{N}\subset\mathbb{M}$:есть и другие "локальные копии"$\mathbb{R}^N$которые наделяют наши топологические/исчисления и т. д. понятиями подмножеств$\mathbb{M}$Кроме как$\mathcal{N}$. Но эти подмножества должны перекрываться , потому что, когда мы занимаемся исчислением, топологией, динамикой или чем-то еще, мы не хотим внезапно столкнуться с «координатной стеной» и должны внезапно прыгать из одной системы координат в другую. . В качестве примера предположим, что у нас есть космический корабль в многообразии Эйнштейна (вселенная, которая является вакуумным решением EFE). Для исчисления, измерения и других математических понятий нам всегда нужно иметь возможность определить многообразие в окрестности космического корабля: так, когда космический корабль приближается к границе одной системы координат, он также должен описываться с помощью другой системы координат. система координат, в которой мы можем вырезать «район»: мы не могли бы этого сделать, если бы наши системы координат не перекрывались, а вместо этого разделяли многообразие$\mathbb{M}$. Другими словами, в теории относительности граница между системами координат является артефактом нашего конкретного математического описания физики, она не принадлежит физике. Другим драматическим примером является явление карданной блокировки в диаграммах углов Эйлера для единичной сферы, которое едва не стоило жизни астронавтам Аполлона-11, стоило жизни многим пилотам в предшествующие годы и является причиной того, что программное обеспечение, обрабатывающее сигналы от Волоконное кольцо Гироскопы Саньяка, которые обеспечивают вашу безопасность в коммерческом реактивном лайнере, либо манипулируют рассчитанной ориентацией самолета на двух перекрывающихся диаграммах, охватывающих$SO(3)$или, совсем недавно, моделировать ориентацию самолета единичными кватернионами в$SO(3)$двойная обложка$SU(2)$.

Итак, наше перекрытие очень необходимо, поэтому многие, если не все области многообразия можно описать более чем одной локальной копией$\mathbb{R}^N$с более чем одним этикетировщиком. Итак, предположим, что у нас есть две области$\mathcal{N}_1,\,\mathcal{N}_2$с этикетировщиками$\lambda_1:\mathcal{N}_1\to\mathbb{R}^N$,$\lambda_2:\mathcal{N}_1\to\mathbb{R}^N$: мы должны удостовериться, что эти ярлыки дают непротиворечивые понятия открытости, соседства, дифференцируемости и всего остального в регионе.$\mathcal{N}_1\cap\mathcal{N}_2$. Итак, набор$\mathcal{O}\subseteq\mathcal{N}_1\cap\mathcal{N}_2$должен быть открыт, как считает этикетировщик$\lambda_1$ и $\lambda_2$и так$\lambda_1\circ\lambda_2^{-1}$и$\lambda_2\circ\lambda_1^{-1}$, «отображения перехода» между картами, должны быть локальными гомеоморфизмами, аналитическими, диффеоморфизмами или любым другим подходящим понятием для рассматриваемого типа многообразия. Точно так же и для всех других исчислений и топологических понятий, о которых мы хотим говорить. Этого легче всего добиться, если графики (диапазоны этикетировщиков$\lambda_j$) открыты, а их пересечения открыты, как считают все локальные копии$\mathbb{R}^N$которые применимы к перекрытию. Таким образом, у нас есть две аксиомы для многообразий, помимо очевидной, что каждая точка многообразия должна принадлежать прообразу хотя бы одного маркировщика:

1. Пересечение между двумя «патчами» (доменами этикетировщиков) должно быть открытым в топологии, как считается каждым из двух этикетировщиков для перекрывающихся диаграмм;

2. Отображения перехода должны быть локальными гомеоморфизмами, диффеоморфизмами, ....

3. Некоторые авторы также добавляют аксиому, что многообразие должно быть хаусдорфовым ($T_2$) на каждой диаграмме, но и во многих областях, особенно в группах Ли,$T_2$обеспечивается другой структурой (групповыми законами), поэтому эта аксиома здесь избыточна.

Простейший способ сделать это — снабдить многообразие глобально топологией, базой которой являются открытые множества, считающиеся их образами под маркировщиками, или, говоря задом наперёд, базой топологии является совокупность всех прообразов множеств, открытых в$\mathbb{R}^N$под этикетировщики.

Надеюсь, вы видите, что понятие непротиворечивости, исчисленное с помощью перекрывающихся карт, и, таким образом, понятие топологии глобального многообразия, очень сильно связано с физической концепцией ковариантности и коперниканским представлением о том, что поведение Природы не может зависеть от нашего простого описания это.

Строго говоря, если можно определить карты, покрывающие набор (атлас), вы можете придать этому набору топологию, индуцированную определением карт как биконтинуальных. То есть множество открыто тогда и только тогда, когда оно является доменом диаграммы в максимальном атласе.

Если у вашего набора уже есть топология, то топология, индуцированная атласом, будет согласовываться с этой топологией при некоторых условиях. (Я думаю, что это Хаусдорф и второй счет, но я должен проверить это.)

Почему вы хотите, чтобы многообразие имело топологию? Ну, вы хотите сказать, что на множестве, достаточно маленьком, чтобы его можно было покрыть диаграммой, многообразие выглядит как евклидово пространство. Но тогда вы должны определить, что должно означать «похоже». Быть гомеоморфным - один из возможных вариантов. Быть диффеоморфным — это другое.