Почему мы всегда игнорируем постоянную интегрирования, когда выводим формулы в физике (используя интегрирование)?

У вас есть константа интегрирования только тогда, когда вы делаете неопределенный интеграл, интеграл, у которого нет пределов. Следовательно, постоянная интегрирования играет роль неизвестного предела. Вы игнорируете константы интегрирования, когда делаете определенный интеграл.

$W = \int_{0}^x kxdx$оценивается в$x$и$0$, постоянной интегрирования нет. Площадь под кривой$kx$между$0$и$x$является единичной величиной без гибкости. Когда у вас есть известные пределы, константа интегрирования отсутствует.

В этом примере можно вычислить первообразную$\frac{1}{2}k x^{2} + C$в x и 0 и вычесть, найдя, что C сокращается, и, кроме того, значение в$x=0$является$0$, оставив тебя с$\frac{1}{2}k x^{2}$.

В общем, если$f(x)+C = \int f'(x)dx$затем$\int_{a}^{b} f'(x)dx = (f(b)+C) - (f(a)+C) = f(b)-f(a)$, игнорируя постоянную интегрирования, потому что она самоуничтожается.

По предложению @HarshDarji я уточняю свой комментарий. Основная теорема исчисления дает несколько довольно слабых условий, обеспечивающих следующее: если$f(a)=b$и$f^\prime(x)=g(x)$,

Но обратите внимание, что я сделал переменную интегрирования$y$, или в моем комментарии$x^\prime$, скорее, чем$x$. Мы не должны использовать один и тот же символ для верхнего предела интеграла, который является просто свободной переменной$x$перешел к$f$, как и для связанной переменной интегрирования. Это аналогично тому, что$\frac12n(n+1)$является$\sum_{k=1}^nk$, нет$\sum_{n=1}^nn$(что не имеет смысла).

Письмо$x^\prime$поскольку это особенно удобный способ решить эту проблему, не забывая о том, что делает интеграл.

Ваш интеграл не должен иметь константу интегрирования, потому что он определен.

Однако то, что вы можете иметь в виду, относится к потенциальной энергии. Абсолютное значение потенциальной энергии бесполезно. Произвольно с точностью до постоянного сдвига. Что действительно важно, так это изменение этой энергии. Это отражает работу, проделанную консервативной силой. Например, если у меня есть потенциальная энергия$U$, и я добавляю к нему константу,$U+c$, тогда да, это изменяет абсолютное значение$U$. Но когда я вычисляю проделанную работу:

$W = - \Delta U = -(U_2 - U_1) = - ((U_2 + c) - (U_1 + c))$

не имеет значения, есть ли у меня там константа или нет. Проделанная работа остается прежней.

Кроме того, производная консервативная сила также одинакова:

${\bf F} = - \nabla U$.

Оператор набла ничего не делает с константой, он возвращает нулевой вектор при работе со скалярной константой.

Практически нас интересует работа, совершаемая вдоль пути, или консервативная сила. Нас никогда не интересует абсолютное значение потенциальной энергии, поэтому мы «игнорируем константу».

Математически,$W = \int_{0}^x kxdx$

$\implies W = {1\over 2}kx^2 + c - ({1\over2}k(0)^2+c)={1\over2}kx^2$

Давайте подробнее рассмотрим конкретный случай, который вы используете в качестве примера: выполнение интегрирования для получения выражения для потенциальной энергии.

Дело с потенциальной энергией: потенциальная энергия не имеет собственной нулевой точки. В любом расчете, который вы делаете, вы оцениваете разницу в потенциале. В этом смысле выбор нулевой точки произволен.

В случае упругой потенциальной энергии пружины существует естественный выбор точки нулевого потенциала: расслабленное состояние пружины. Но все же никакого внутреннего противоречия не возникнет, если вы присвоите в качестве потенциала ненулевое значение «с» расслабленному состоянию пружины. Затем, когда вы присваиваете числовое значение (для упругой потенциальной энергии) конкретному укороченному/удлиненному состоянию этой пружины, вы добавляете то же самое значение «с», которое вы присвоили расслабленному состоянию пружины.

В любом расчете: вы используете разницу в потенциальной энергии между двумя состояниями пружины, поэтому фактор «с» всегда будет выпадать из расчета.

Вот случай, когда выбор нулевой точки немного сложен: гравитационная потенциальная энергия.

Может возникнуть соблазн сделать следующее: взять два объекта и назвать состояние, в котором два объекта слились, состоянием нулевой потенциальной гравитационной энергии. Затем вы можете присвоить потенциал каждому состоянию, в котором два объекта находятся на некотором расстоянии друг от друга.

Проблема в том, что если рассматривать два гравитирующих тела как точечные массы, то они могут сколь угодно близко подходить друг к другу. Гравитация — это закон обратных квадратов; когда расстояние становится бесконечно малым, сила становится бесконечно большой. Итак: математически интеграция терпит неудачу: вы не можете интегрировать до нуля.

Вышеупомянутая проблема бесконечности обходится следующим образом: в случае обратной квадратичной силы, такой как сила тяжести, значение нулевого потенциала помещается в бесконечно далеко друг от друга.

Поскольку два объекта гравитационно притягиваются друг к другу, они ускоряются друг к другу. Они движутся вниз по гравитационному потенциалу, и гравитационная потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию.

Между любыми двумя расстояниями для вас важна разница в гравитационной потенциальной энергии. Все, что вы когда-либо использовали, это разница в гравитационной потенциальной энергии между расстоянием А и расстоянием В. Вот почему у вас есть свобода выбора, где вы поместите точку с нулевой потенциальной энергией.

Поскольку два объекта ускоряются друг к другу, ускоряясь под действием силы тяжести, значение потенциальной энергии, которое вы назначаете, является отрицательным значением. Может ли потенциальная энергия быть отрицательной ? Опять же: это отрицательное значение не имеет внутреннего значения. Разница в гравитационном потенциале между некоторой точкой А и некоторой более удаленной точкой В является положительной величиной.

Все, что вы когда-либо использовали, — это разница потенциальной энергии между двумя состояниями.

Все случаи, когда выполняется интегрирование, а константа интегрирования игнорируется, — это случаи, когда (например, потенциальная энергия) вы используете разность; разница между двумя состояниями. Таким образом, любая константа интегрирования, которую вы добавите, в любом случае выпадет из расчета.

Извините за мой плохой английский. Мой родной язык французский.

Я думаю, вы путаете понятие интеграла Римана и понятие первообразной. Когда мы определяем их, они не имеют ничего общего друг с другом.

Интеграл Римана определяется как предел сумм Римана: мы делим интервал на бесконечно малые элементы и суммируем все, переходя к пределу. Это то, что мы делаем, когда вычисляем потенциальную энергию пружины.

Первообразная - это просто обратная операция производной. Его определение включает неопределенную константу.

Но есть фундаментальная теорема анализа, которая говорит, что интеграл Римана есть изменение первообразной между границами.

Эта теорема, очевидно, очень полезна! Но мы обходимся без него, когда вычисляем интеграл численно. И мы могли бы также оценить площадь под кривой, взвесив лист бумаги!