Почему формула W=FdW=FdW=Fd не применима к запасенной в пружинах энергии?

Потому что$W = Fd$справедливо только для очень частного случая. Общее определение работы дается через

$$W = \int_\gamma \vec F (\vec r) \cdot \text{d}\vec r$$ где$\gamma$представляет траекторию в$\mathbb{R}^3$и$\vec F (\vec r )$представляет собой векторное поле. Случай, когда$W=Fd$держится, когда$\vec F (\vec r)$постоянна во всем пространстве, а траектория параллельна силе. Например, при вытягивании камня массой$m$на высоту$d$по прямой линии вдоль$z$-ось получаем $$W = \int_\gamma \vec F (\vec r) \cdot \text{d}\vec r = \int_0^d mg\ \text d z = mgd\ \hat{=}\ Fd.$$ Но усилие при нажатии или вытягивании пружины пропорционально тому, насколько сильно вы ее потянули — это зависит от положения. Что мы видим при удлинении пружины на длину$l$вдоль$x$-ось получаем $$W = \int_\gamma \vec F (\vec r) \cdot \text{d}\vec r = \int_0 ^l kx\ \text d x = \frac 1 2 k l^2\ \hat{=}\ \frac{F(l)\,l} 2$$ Примечание . Знаки зависят от системы, на которую вы смотрите, поэтому для некоторых систем у вас будет знак минус перед силой.

Я думаю, что этот вопрос показывает непонимание исчисления, а не физики.

Для постоянных сил работа определяется как:

$$W = F \cdot s$$

Для применения этого для расчета работы переменных сил

Рассмотрим интервал расширения$(x_o, x_o+h)$, если бы мы уменьшили размер$h$стать очень малой, то мы можем сказать, что сила более или менее постоянна на рассматриваемом интервале, и, следовательно, мы можем применить определение работы для постоянной силы:

$$\Delta W = F \Delta h$$

Уменьшение$h$к нулю и суммируя эту величину по всем таким интервалам, возможным из$x_o$к$x_{f}$, где$x_f$— конечное перемещение, получаем работу интегралом:

$$W = \int_{x_o}^{x_f} F dh$$