Почему нас волнует хиральность?

Четность включает в себя преобразование , которое меняет алгебраический знак системы координат. Четность является важной идеей в квантовой механике, потому что волновые функции, которые представляют частицы, могут вести себя по-разному при преобразовании системы координат, которая их описывает. При паритетном преобразовании:

Преобразование четности изменяет правую систему координат на левую или наоборот. Два применения преобразования четности восстанавливают систему координат в исходное состояние.

Разумно предположить, что природе все равно, правая или левая ее система координат, но, как ни удивительно, это оказывается не так. В известном эксперименте К. С. Ву было продемонстрировано несохранение четности при бета-распаде.

.........

последующие эксперименты последовательно показали, что собственный угловой момент (спин) нейтрино всегда направлен в направлении, противоположном его скорости. В результате она называется левой частицей. Антинейтрино имеют спины, параллельные их скорости, и поэтому являются правосторонними частицами. Поэтому мы говорим, что нейтрино обладает внутренней киральностью.

«Хирал» — прилагательное, происходящее от древнегреческого слова, означающего «рука» (χείρ).

Когда наблюдаемая хиральность конкретных частиц и взаимодействий стала описываться с помощью математики квантовой теории поля, вместо «хиральности» было выбрано прилагательное «хиральность». Физическое понимание заключается в том, что наличие его в QFT позволяет правильно моделировать данные с помощью QFT.

Я дам немного более математический ответ. Сначала позвольте мне рассказать о том, что такое хиральность. Квантовые поля преобразуются по конкретным представлениям группы Лоренца. Неприводимые представления называются$(A,B)$представления, и они помечены двумя целыми или полуцелыми числами$A$и$B$. Если вам никогда не казалось это, пожалуйста, обратитесь к Вайнбергу «Квантовая теория поля», глава 5.

Представления$(\frac{1}{2},0)$и$(0,\frac{1}{2})$являются представлениями Вейля. Поля, преобразующиеся в этих представлениях, имеют спин$\frac{1}{2}$, тем самым являясь фермионами, и известны как киральные фермионы . Те, что в$(\frac{1}{2},0)$представления называются левыми фермионами Вейля, а$(0,\frac{1}{2})$представления называются правыми фермионами Вейля. Можно показать, что их можно использовать в качестве строительных блоков для всех других областей, так что с математической точки зрения они уже весьма актуальны.

Хиральные фермионы обладают тем специфическим свойством, что они обязательно являются безмассовыми частицами. Причина этого в том, что для построения лоренц-инвариантного массового члена в лагранжевой плотности требуется как объект из$(\frac{1}{2},0)$представительство и другое от$(0,\frac{1}{2})$представление. Отдельный киральный фермион не допускает массового члена !

С другой стороны, стандартные фермионы Дирака, подобные тем, с которыми мы сталкиваемся в КЭД, имеют массу. Поле Дирака преобразуется в представлении$(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})$и поэтому его можно понимать как составной объект, образованный из двух киральных фермионов. Это один конкретный пример того, что я сказал, что они являются строительными блоками для всех репрезентаций. Вот где$\gamma^5$начинается история: киральные проекторы, примененные к полю Дирака, проецируют на неприводимые левые или правые представления Вейля.

Теперь, установив более тесный контакт с тем, что мы находим в реальном мире, рассмотрим Стандартную модель. Это калибровочная теория с калибровочной группой${\rm SU}_{\rm C}(3)\times {\rm SU}_{\rm L}(2)\times {\rm U}_{\rm Y}(1)$. Эта теория построена с нуля на киральных фермионах. Рассмотрим, например, лептоны в электрослабом секторе${\rm SU}_{\rm L}(2)\times {\rm U}_{\rm Y}(1)$. Одним из таких лептонов был бы электрон. Поскольку мы знаем, что в реальном мире лептоны имеют массу, мы связываем с каждым лептоном два киральных фермиона.$\ell_L$и$\ell_R$. Но для каждого лептона у нас есть одно ассоциированное нейтрино, а нейтрино в Стандартной модели не имеет массы. Действительно, нейтрино лептона$\ell$получает только один киральный левый фермион$\nu_\ell$.

Теперь вы видите, что немного${\rm L}$Я записал на${\rm SU}(2)$группа? Напомним, что левая часть каждого лептона,$\ell_L$, и связанное с ней нейтрино$\nu_\ell$, составить один${\rm SU}(2)$дублет$L_\ell=\begin{pmatrix}\nu_\ell \\ \ell_L\end{pmatrix}$. Эти поля оплачиваются по${\rm SU}(2)$, а правая часть лептона,$\ell_R$, это один${\rm SU}(2)$синглетный, поэтому нейтрален при${\rm SU}(2)$.

В этом случае явный массовый член для лептона соединил бы$\ell_L$и$\ell_R$и это было бы несовместимо с имеющейся у нас симметрией. В конце концов, механизм Хиггса порождает массовый член в фазе нарушенной симметрии благодаря юкавскому взаимодействию лептона с полем Хиггса. Конечно, поле Хиггса имеет правильные квантовые числа, так что связь действительно симметрична. В конце концов, в спонтанном нарушении симметрии лагранжиан симметричен, а симметрия нарушается вакуумом, который не является инвариантным.

Конечно, невозможно дать исчерпывающий обзор электрослабой теории в одном ответе, но я надеюсь, что эти краткие замечания прояснят, что хиральность сильно присутствует в Стандартной модели.

Еще что касается Стандартной модели, есть еще сектор КХД${\rm SU}_{\rm C}(3)$Стандартной модели, в которой киральная симметрия играет большую роль в обсуждении генерации массы, как я упоминал в комментарии.

Наконец, я хотел бы также сказать, что в суперсимметрии киральные фермионы вполне естественны. Есть два эквивалентных формализма для SUSY: один использует киральные фермионы, которые мы находим, например, у Весса и Баггера, а другой использует фермионы Майораны. Поскольку они эквивалентны, это дело вкуса. Лично я нахожу формализм с киральными фермионами более элегантным и удобным для манипулирования.

Что отличает киральные проекции от других проекций, так это то, что они инвариантны относительно непрерывных преобразований Лоренца (коммутируют с ними). Следовательно, возможна теория, в которой существует только одна спроецированная «половина» спинора, но которая все еще является лоренц-инвариантной. Это интересно. И реальный мир оказывается именно таким, так что это тоже важно.

Чтобы мотивировать проекции геометрически, позвольте мне начать с более простого случая — вращения в 4+0 измерениях.

В 4-х и более пространственных измерениях возможно одновременное независимое (коммутирующее) вращение в двух перпендикулярных плоскостях.

Общий поворот в четырех измерениях — это поворот на разные углы (которые могут быть равны нулю) в перпендикулярных плоскостях. Однако любой поворот всегда можно записать как композицию двух поворотов на равные углы в перпендикулярных плоскостях. Ротация на$θ$в$wx$самолет и$φ$в$yz$плоскость - это вращение на$(θ+φ)/2$в$wx$и$yz$плоскости, составленные с вращением на$(θ-φ)/2$в$wx$и$zy$самолетов, где я изменил порядок$zy$чтобы вращение было в обратном направлении.

Кроме того, как и в трех измерениях, ортонормированные основания в четырех измерениях могут быть классифицированы как правые или левые, и вы можете классифицировать равноугольные вращения как правые или левые в зависимости от того, «сцеплены» ли плоскости вращения ($wxyz$или$wxzy$) образуют правую или левую систему координат. Тогда каждое вращение распадается не просто на два равноугольных вращения, а на одно правостороннее и одно левостороннее равноугольное вращение.

В случае безмассовых полей в 3+1-мерном пространстве-времени имеет место вращение в 2D-плоскости, перпендикулярной направлению распространения, а также вращение во внутренних измерениях, соответствующих калибровочным силам.

В простейшем случае$U(1)\cong SO(2)$, есть одна внутренняя плоскость вращения, поэтому, когда вы комбинируете его с пространственным вращением, у вас есть две перпендикулярные плоскости, и вы можете разложить вращение на равноугольные вращения противоположной направленности, как и раньше. Возможно существование только одного из двух. Условно внутреннее вращение представлено сложной фазой; вот почему есть фактор$i$в$γ^5$. Без внутреннего калибровочного поля нет кирального разложения, но в 5+1 измерениях оно было бы, поскольку у вас было бы четыре пространственных измерения, перпендикулярных распространению.

Эта простая киральная калибровочная теория в значительной степени академична, поскольку единственная физически релевантная$U(1)$Калибровочная теория — это КЭД, которая не является киральной.

Полная калибровочная группа Стандартной модели имеет сложную структуру, но ее можно вложить в SO(10) , группу вращений 10-мерного пространства. (На самом деле в Spin (10), но это выходит за рамки этого ответа.) Таким образом, у вас есть всего 12 измерений, перпендикулярных распространению, и вращение в 6 перпендикулярных плоскостях, одна внешняя и 5 внутренних. По-прежнему возможно разложить вращение на правую и левую части, хотя геометрическая интерпретация этого в более чем 4 измерениях мне не ясна. Возможно существование только однорукости без нарушения непрерывной лоренц-инвариантности, и это оказывается правдой на самом деле.