Есть ли связь между аксиальной симметрией U(1)U(1)U(1) и преобразованиями четности?

Они оба явно верны. Любая путаница связана с излишеством обозначений. В вашем двумерном базисе Вейля, где игнорируются лишние спинорные индексы, осевое вращение — всего лишь

$$e^{-i\beta \sigma_3} =1\!\!1 \cos \beta -i \sigma_3 \sin \beta ,$$ где, конечно, конечное вращение $\beta=\pi/2$сводится к приведенному выше сокращению до $-i\sigma_3= -\tfrac{i}{2}(1\!\!1+i\sigma_2)\sigma_1 (1\!\!1-i\sigma_2)$, поэтому унитарно эквивалентен $-i\sigma_1$.

Так же,

$$P=\sigma_1$$ который имеет те же собственные значения, что и вращение π / 2 выше, и обеспечивает его матрицу сопряжения, $$P e^{-i\beta \sigma_3} P= e^{i\beta \sigma_3},$$ с $\sigma_1 \sigma_3\sigma_1=-\sigma_3$.

Итак, да, осевое вращение различает киральные собственные состояния, а четность меняет их местами. У вас не может быть инварианта осевого вращения, который не был бы инвариантом по четности; и, наоборот, для фермионов нельзя построить инвариант четности, нарушающий аксиальное U(1).

Мы говорим здесь о фермионах, но бесспиновые состояния с нечетной четностью, такие как псевдоскаляры (которые могут использоваться для нарушения четности в действии), могут быть связаны с бесспиновыми билинейными фермионами, которые соответствуют этой схеме осевого вращения: так что вы могли бы также рассмотреть две базы, соединенные$(1\!\!1-i\sigma_2)/\sqrt2$эквивалент.