Почему не рассматривается динамика LxLxL_x, LyLyL_y при движении твердого тела вокруг оси zzz?

Question

Почему не рассматривается динамика LxLxL_x, LyLyL_y при движении твердого тела вокруг оси zzz?

Затвердевание

Рассмотрим неплоское твердое тело, вращающееся вокруг фиксированной оси (скажем, оси Z, выбранной вертикально). Пусть происхождение $O$ выбирается где-то на оси Z. Позволять $\textbf{r}_i$ представляют вектор положения $i^{th}$ частица твердого тела. Тогда по определению момент количества движения тела около $O$ дан кем-то

л "=" \sum_{я} м_{я} р_{я} \times (\vec{ю} \times р_{я}) "=" \sum_{я} м_{я} [р_{я}^{2} \vec{ю} - (р_{я} \cdot \vec{ю}) р_{я}] .

$\textbf{L}=\sum\limits_{i}m_i\textbf{r}_i\times(\vec{\omega}\times\textbf{r}_i)=\sum\limits_{i}m_i[r_i^2\vec{\omega}-(\textbf{r}_i\cdot\vec{\omega})\textbf{r}_i].$ С

\vec{ω} = ω \hat{k},

$\vec{\omega}=\omega \hat{k},$

л "=" \sum_{я} м_{я} ю [- (г_{я} {Икс}_{я}) \hat{я} + (- г_{я} у_{я}) \hat{Дж} + ({Икс}_{я}^{2} + у_{я}^{2}) \hat{к}] .

$\textbf{L}=\sum\limits_{i}m_i\omega[-(z_ix_i)\hat{i}+(-z_iy_i)\hat{j}+(x_i^2+y_i^2)\hat{k}].$ Z-компонента углового момента равна

L_{z} = \sum_{i} m_{i} d_{i}^{2} ω = I ω

$L_z=\sum\limits_{i}m_id_i^2\omega=I\omega$ обычно придается особое значение, (также

τ_{z} = \frac{d L_{z}}{d t} = I \dot{ω}

$\tau_z=\frac{dL_z}{dt}=I\dot{\omega}$ ).

Почему динамика других компонентов, $L_x$ и $L_y$ , не учитываются (в школьных учебниках, таких как Холлидей, Резник и Уокер), хотя они отличны от нуля и могут изменяться, если сила $\textbf{F}$ в произвольном направлении (поскольку крутящий момент $\vec{\tau}=\textbf{r}\times\textbf{F}$ в общем случае все компоненты будут ненулевыми)?

Аарон

Вероятно, потому что они не будут применять какие-либо крутящие моменты, которых нет в

z

$z$ направление, так что это не имеет значения на педагогическом уровне

пользователь167453

Может быть, вам следует подчеркнуть, что вы говорите о случайно комковатом объекте, поскольку все мы выросли с предубеждением в отношении симметричных ситуаций при изучении физики? Кроме того, в HRW и тому подобное они не вдаются в подробности, которые иллюстрирует ваш пост, если они думают, что изложили свою точку зрения, и что экзаменационные вопросы будут упрощены.

Затвердевание

Все, что мне нужно подчеркнуть, что я говорю о трехмерном объекте.

Аарон

Ах, извините, я был сбит с толку и предположил, что вы выбрали

z

$z$ ось как ось симметрии или вдоль собственного вектора тензора инерции. Можно поточнее, что именно вы подразумеваете под "динамикой других компонентов не учитываются"?

Затвердевание

@Aaron А как насчет уравнений

τ_{x} = I_{x z} \dot{ω} - I_{y z} ω^{2}

$\tau_x=I_{xz}\dot{\omega}-I_{yz}\omega^2$ и

τ_{y} = I_{y z} \dot{ω} + I_{x z} ω^{2}

$\tau_y=I_{yz}\dot{\omega}+I_{xz}\omega^2$ которые получаются путем взятия производной от

L

$\textbf{L}$ по времени т.

Аарон

Без вашего конкретного учебника я не могу комментировать, есть ли ошибка в их книге, но я подозреваю, что во всех их примерах они работают только с тензором инерции после его диагонализации, и в этом случае другие компоненты будут разделены и не иметь значения. Следовательно, для их целей было бы достаточно выделить особое направление, а именно

z

$z$ -ось. В общем случае вы правы, что другие части, конечно, должны иметь значение.

Затвердевание

@Aaron Почему не должно иметь значения, если движение происходит вокруг фиксированной оси? Если движение вокруг оси Z

ω_{x} = ω_{y} = 0

$\omega_x=\omega_y=0$ , и

ω_{z} = ω

$\omega_z=\omega$ . Тогда мой результат следует как частный случай формулы

L = I \vec{ω}

$\textbf{L}=\textbf{I}\vec{\omega}$ где

I

$\textbf{I}$ — тензор инерции. И я вообще не говорю о какой-либо главной оси.

Аарон

Позвольте мне подчеркнуть, что я не думаю, что что-то не так с вашим выводом, и что я не могу проверить, есть ли какая-либо ошибка в вашем учебнике, поскольку у меня ее нет. Я только пытаюсь потенциально объяснить, почему ваш учебник предпочитает изолировать

z

$z$ компонент, что, вероятно, потому, что они выбирают

z

$z$ располагаться вдоль главной оси. Поскольку вы всегда можете выбрать базис по основным компонентам, оказывается, что этого достаточно, чтобы думать обо всех вращениях. так как вы можете обрабатывать каждый компонент независимо

Затвердевание

@ Аарон Может быть. Вы можете представить себе случай, когда кубическое тело вращается вокруг одного из своих ребер. В этом случае ось вращения не является какой-либо главной осью. :-)

Ответы (1)

Почему не рассматривается динамика LxLxL_x, LyLyL_y при движении твердого тела вокруг оси zzz?

Вероятно, потому что они не будут применять какие-либо крутящие моменты, которых нет в $z$ направление, так что это не имеет значения на педагогическом уровне
Может быть, вам следует подчеркнуть, что вы говорите о случайно комковатом объекте, поскольку все мы выросли с предубеждением в отношении симметричных ситуаций при изучении физики? Кроме того, в HRW и тому подобное они не вдаются в подробности, которые иллюстрирует ваш пост, если они думают, что изложили свою точку зрения, и что экзаменационные вопросы будут упрощены.
Все, что мне нужно подчеркнуть, что я говорю о трехмерном объекте.
Ах, извините, я был сбит с толку и предположил, что вы выбрали $z$ ось как ось симметрии или вдоль собственного вектора тензора инерции. Можно поточнее, что именно вы подразумеваете под "динамикой других компонентов не учитываются"?
@Aaron А как насчет уравнений $\tau_x=I_{xz}\dot{\omega}-I_{yz}\omega^2$ и $\tau_y=I_{yz}\dot{\omega}+I_{xz}\omega^2$ которые получаются путем взятия производной от $\textbf{L}$ по времени т.
Без вашего конкретного учебника я не могу комментировать, есть ли ошибка в их книге, но я подозреваю, что во всех их примерах они работают только с тензором инерции после его диагонализации, и в этом случае другие компоненты будут разделены и не иметь значения. Следовательно, для их целей было бы достаточно выделить особое направление, а именно $z$ -ось. В общем случае вы правы, что другие части, конечно, должны иметь значение.
@Aaron Почему не должно иметь значения, если движение происходит вокруг фиксированной оси? Если движение вокруг оси Z $\omega_x=\omega_y=0$ , и $\omega_z=\omega$ . Тогда мой результат следует как частный случай формулы $\textbf{L}=\textbf{I}\vec{\omega}$ где $\textbf{I}$ — тензор инерции. И я вообще не говорю о какой-либо главной оси.
Позвольте мне подчеркнуть, что я не думаю, что что-то не так с вашим выводом, и что я не могу проверить, есть ли какая-либо ошибка в вашем учебнике, поскольку у меня ее нет. Я только пытаюсь потенциально объяснить, почему ваш учебник предпочитает изолировать $z$ компонент, что, вероятно, потому, что они выбирают $z$ располагаться вдоль главной оси. Поскольку вы всегда можете выбрать базис по основным компонентам, оказывается, что этого достаточно, чтобы думать обо всех вращениях. так как вы можете обрабатывать каждый компонент независимо
@ Аарон Может быть. Вы можете представить себе случай, когда кубическое тело вращается вокруг одного из своих ребер. В этом случае ось вращения не является какой-либо главной осью. :-)

Крис · Answer 1

Динамика твердого тела в целом довольно сложна, поэтому учебники более низкого уровня, такие как HRK, имеют тенденцию упрощать вещи. В частности, всегда можно выбрать набор осей (называемых «главными осями») такой, что $\vec L=I_xω_x\hat{i}+I_yω_y\hat{j}+I_zω_z\hat{k}$ , что в вашем случае дает $\vec L$ в $\hat{k}$ направление. Ваша книга, вероятно, неявно выбирает эти главные оси в качестве системы координат.

Почему не рассматривается динамика LxLxL_x, LyLyL_y при движении твердого тела вокруг оси zzz?

Затвердевание

Аарон

пользователь167453

Затвердевание

Аарон

Затвердевание

Аарон

Затвердевание

Аарон

Затвердевание

Ответы (1)

Крис

Уточнение относительно главных осей при движении твердого тела

Угловое ускорение в твердых телах

Путаница о том, что происходит, когда ось вращения гироскопа вращается

Угловой момент и крутящий момент колеблющегося цилиндрического стержня

Второй закон Ньютона для вращения

Система координат, угловые свойства и центроид

Механика вращения: возможно ли угловое ускорение без внешнего крутящего момента?

Пример несохранения углового момента, но действительно ли требуется внешний крутящий момент?

Производная углового момента во вращающейся системе отсчета

Угловой момент и крутящий момент в гироскопе