Почему некоторые симметрии невидимы для лагранжиана конфигурационного пространства L(q,q˙,t)L(q,q˙,t)L(q, \dot q,t)?

Обычно, когда говорят о лагранжианах, имеют в виду функцию переменных конфигурационного пространства$q_i$и их производные по времени$\dot q_i$. это функция$L = L(q_i, \dot q_i,t)$. Однако есть еще одно понятие лагранжиана, «гамильтоновский лагранжиан», который также является функцией$p_i$.

$$L_H(q_i, \dot q_i, p_i,t) = p_i \dot q_i - H(q_i, p_i,t)$$ Теорема Нётер говорит нам, что для каждой симметрии «вне оболочки»$L$(это преобразования, которые изменяют$L$полной производной по времени) имеем сохраняющуюся величину. Однако есть некоторые симметрии, которые можно увидеть только с помощью гамильтонова лагранжиана$L_H(q_i, \dot q_i, p_i,t)$, а не с лагранжианом конфигурационного пространства$L(q_i, \dot q_i,t)$. Известный пример — скрытый$SO(4)$симметрия в задаче Кеплера с приводит к сохранению вектора Лапласа Рунге-Ленца. Эта симметрия, по-видимому, «перепутывает»$q$'песок$p$таким образом, что лагранжиан конфигурационного пространства не может захватить.

Таким образом, мы могли бы сказать, что симметрии с смешиванием$q_i$и$p_i$не очевидны в лагранжиане конфигурационного пространства и на этом заканчиваем. Однако этот ответ не имеет особого смысла при ближайшем рассмотрении. Например, трансляционная симметрия времени, порожденная сохраняющейся величиной$H$, наверняка "перепутает$q$и$p$" и тем не менее присутствует в лагранжиане конфигурационного пространства с точки зрения симметрии$q_i \to q_i + \varepsilon \dot q_i$.

Кроме того, учтите следующее: все симметрии «вне оболочки» являются симметриями уравнений движения. (Обратное неверно.) Это как раз потому, что если путь стационарен, то путь, подвергнутый преобразованию симметрии, также будет стационарным, потому что действие пути и всех ближайших вариаций останется неизменным. Поэтому даже скрытое$SO(4)$симметрия должна представлять собой симметрию уравнений движения (вероятно, связанную с изменением эксцентриситета орбиты) и поэтому должна быть выражена как симметрия лагранжиана конфигурационного пространства.

Итак, все это говорит о том, почему некоторые симметрии невидимы для лагранжиана конфигурационного пространства? Существует ли надежный критерий для определения того, является ли симметрия невидимой таким образом?