Почему нет единого «рецепта» квантования классической теории?

1. Переверните бремя : зачем нужен уникальный метод квантования? Классическая теория есть предел квантовой теории, почему этот предел должен быть обратимым? Это все равно, что требовать, чтобы термодинамику можно было восстановить из нулевой температуры (или любого другого) предела, или$\mathbb{R}^{6N}$динамика фазового пространства, которая может быть восстановлена ​​​​из термодинамического предела$N\to\infty$. Нет причин ожидать, что вся теория будет закодирована в одном из ее пределов, фактически нет причин ожидать, что вообще существует метод квантования , не говоря уже об уникальном.

2. Квантование затруднено : предполагается, что «квантование» представляет собой сопоставление эрмитовых операторов в гильбертовом пространстве с классическими наблюдаемыми в фазовом пространстве, т. е. отображение$f(x,p)\mapsto \hat{f}$. Теорема Грёневольда-ван Хова утверждает, что не существует такого отображения, что

   1. $f\mapsto \hat{f}$является линейным.
   2. $[\hat{f},\hat{g}] = \mathrm{i}\hbar\widehat{\{f,g\}}$выполняется для всех наблюдаемых$f,g$.
   3. Наблюдаемые, которые коммутируют со всем, кратны единице, что означает, что представление алгебры наблюдаемых неприводимо.
   4. $p(\hat{f}) = \hat{p(f)}$для всех многочленов$p$,

   это означает, что каждый метод квантования должен отбросить некоторые из этих предположений, и обычно недостаточно отбросить только четвертое. Каноническое квантование обычно предполагает, что все это работает в любом случае, и когда что-то идет не так, оно фиксируется ad hoc. Деформационное квантование отбрасывает четвертое свойство и заставляет второе сохраняться только до условий порядка.$\hbar^2$, вместо этого геометрическое квантование ограничивает допустимые входные данные$f$к карте квантования и отбрасывает четвертое свойство.

   Следовательно, вы, естественно, получаете разные методы квантования в зависимости от того, какими допущениями вы готовы пожертвовать. На самом деле ни для одного из методов квантования неизвестно, являются ли они «эквивалентными» в полностью общей постановке. Кроме того, это даже не начинает охватывать все возможные «квантования», поскольку, например, формализм интеграла по путям не является картой.$f\mapsto \hat{f}$. Увы, точно не известно, действительно ли он эквивалентен операторному формализму, но большинство известных случаев, похоже, не различаются между двумя формализмами. Более подробное обсуждение этого вопроса см . в этом вопросе .

Во-первых, следует подчеркнуть, что разные подходы к квантованию классической теории дают разное понимание. Во-вторых, один метод квантования для системы может быть особенно выгодным по сравнению с другими в зависимости от того, что вы хотите проявить.

Существует прототипический пример этого. Рассмотрим, например, действие классической струны,

Даже среди канонического квантования можно выбрать разные датчики, которые дадут разное понимание. Калибровка светового конуса позволяет быстрее всего получить спектр струны, но ковариантность теории проявляется в конформной калибровке. Калибровка светового конуса способна устранить диффеоморфизм и избыточность Вейля.

Второй подход к классической струне — это BRST-квантование. Можно классифицировать состояния как БРСТ-точные или БРСТ-замкнутые в том же смысле, что и замкнутые или точные для дифференциальных форм, и, таким образом, ввести БРСТ-когомологии, аналогичные когомологиям де Рама.

Физическое гильбертово пространство отождествляется с этими БРСТ-когомологиями, и это теорема (доказанная в 4.4 Полчинского), что

то есть гильбертово пространство совпадает с пространством, полученным в результате канонического квантования, а также квантования светового конуса. Таким образом, хотя у метода БРСТ есть некоторые преимущества, он предлагает эквивалентное описание системы.

Что касается доказательства эквивалентности в более общих случаях, я надеюсь, что другой член SE может предложить идеи.

Ответы выше великолепны, но они не отвечают на последний ваш вопрос, так что вот.

$-$Можно ли использовать спиновые сети для квантования КХД?

$-$ Только если она связана с гравитацией.

Базис спиновой сети несчетный . Таким образом, пространство внутреннего продукта неразделимо и не может описать четко определенную квантово-механическую систему.

Прекрасная причина, по которой это работает для гравитации , заключается в том, что ядро ​​ограничения диффеоморфизма (должным образом квантованного как оператор в пространстве спиновой сети) ОТО на самом деле является сепарабельным гильбертовым пространством.$\mathcal{K}$, которое обычно называют кинематическим гильбертовым пространством LQG. Другими словами, поскольку LQG не зависит от фона, «чрезмерный размер» пространства внутреннего произведения спиновых сетей является просто калибровочным, а истинное гильбертово пространство сепарабельно.

Это также будет работать для гравитации +$SU(3)$Система Янга-Миллса (КХД). Но это не сработает для КХД на плоском фоне Минковского. Независимость от фона действительно имеет значение.