В чем идея канонического квантования?

Возьмем канонические коммутационные соотношения (CCR) в их возведенной в степень форме (соотношения Вейля):

$$V(\eta)T(q)=e^{-i\eta\cdot q}T(q)V(\eta)\; ,$$

где$\{V(\eta)\}_{\eta\in \mathbb{R}^d}$и$\{T(q)\}_{q\in \mathbb{R}^d}$являются объектами данной нормированной алгебры с инволюцией. Это очень общее понятие, которое в настоящее время принимается за определение CCR. Если мы возьмем экспоненты операторов положения и импульса$V(\eta)=e^{i\eta\cdot x}$и$T(q)=e^{i q\cdot (-i\nabla_x)}$в$L^2(\mathbb{R}^d)$мы видим, что они удовлетворяют отношениям Вейля и являются объектами$C^*$алгебра ограниченных операторов на этом пространстве.

Теперь давайте начнем с$W=\{V(\eta), T(q)\}_{\eta, q\in \mathbb{R}^d}$, и построить$C^*$алгебра$V$который содержит$W$, т.е.$V=\overline{W}$(закрытие$W$в данной норме$\lVert \cdot\rVert$наших объектов). Это называется ЦКР$C^*$алгебра. Итак, как видите, отправная точка очень абстрактна и задается этим CCR.$C^*$алгебра.

Теперь можно показать, что каждый$C^*$алгебра имеет по крайней мере одно точное представление в виде подалгебры ограниченных операторов в некотором гильбертовом пространстве (так называемая конструкция GNS).

Другим замечательным результатом является теорема Стоуна-фон Неймана, утверждающая, что все неприводимые (т. е. такие, что единственным инвариантным подпространством относительно действия операторов является нулевой вектор) представления алгебры CCR унитарно эквивалентны (т. е. связаны унитарным отношением преобразование) и, в свою очередь, эквивалентно представлению, даваемому обычными операторами положения и импульса на$L^2(\mathbb{R}^d)$я дал выше.

Сводя воедино результаты, становится очевидным, что достаточно задать алгебру CCR, ибо она всегда неприводимо (с точностью до унитарных изоморфизмов) представляется каноническими операторами положения и импульса на$L^2$. Кроме того, концепция квантовых состояний напрямую связана с$C^*$алгебра наблюдаемых (является подмножеством своего топологического дуала); и нормальные состояния (подмножество предуального алгебры фон Неймана$V''$, и квантовых состояний) находятся во взаимно однозначном соответствии с матрицами плотности в соответствующем представлении.

Что касается эволюции и классического предела (применительно к классической динамике), то эти понятия легче понять с точки зрения квазиклассического анализа, т. е. изучения квантования (Вейля, Вика, анти-Вика) классических символов в псевдодифференциальные операторы и их полуклассические разложения. Тем не менее квантовую эволюцию можно рассматривать как автоморфизм$C^*$алгебра наблюдаемых (или квантовых состояний), удовлетворяющая некоторым предположениям о регулярности.

Замечание : теорема Стоуна-фон Неймана справедлива только для «конечномерных» соотношений Вейля, т. е. если$\eta,q \in \mathbb{R}^d$(результат можно распространить по теории Макки на любую локально компактную группу). Если, например, мы рассмотрим аналогичную «бесконечномерную» CCR-алгебру, порожденную

$$W(\psi)W(\phi)=e^{-i\mathrm{Im}\langle\psi,\phi\rangle}W(\psi+\phi)\; ,$$ где $\psi,\phi\in \mathscr{H}$, $\mathscr{H}$бесконечномерном гильбертовом пространстве мы имеем бесконечно много унитарно неэквивалентных неприводимых представлений. В этой ситуации (это случай CCR бозонного квантового поля) мы имеем другие представления, неэквивалентные шредингеровскому (или фоковскому); и, таким образом, становится действительно важным рассматривать квантовую теорию как теорию, порожденную алгеброй (некоммутативных) наблюдаемых.