Вопросы об угловом моменте и трехмерном (3D) пространстве?

Q1: Как мы знаем, в классической механике (КМ) согласно теореме Нётер всегда существует одна сохраняющаяся величина, соответствующая одной конкретной симметрии. Теперь рассмотрим классическую систему в$n$размерное пространство общих координат, описываемое лагранжианом$L(q,\dot{q})$, где$q=(q_1,...,q_n)$и$\dot{q}=(\dot{q_1},...,\dot{q_n})$— общие координаты и общие скорости соответственно. Если в системе есть$SO(n)$пространственная вращательная симметрия, например$\forall A\in SO(n),L(Aq^T,A\dot{q}^T)=L(q,\dot{q})$, то мы можем получить$\frac{n(n-1)}{2}$(количество генераторов группы$SO(n)$) сохраняющийся угловой момент.

Мой вопрос заключается в следующем , теперь обратите внимание, что наше пространственное измерение$n$, когда$n=3\rightarrow$количество углового момента$(\frac{n(n-1)}{2})$$=$пространственное измерение$(n)$$=$3, иначе число углового момента$\neq$пространственное измерение, так почему же пространственное измерение 3 такое особенное? Есть ли какая-то глубокая причина для числа 3 или это просто случайное событие? Или все-таки это явление как-то связано с тем, что мы «живем» в трехмерном мире?

Q2: В квантовой механике (КМ) эрмитов оператор$J=(J_x,J_y,J_z)$называется угловым моментом тогда и только тогда, когда$[J_x,J_y]=iJ_z,[J_y,J_z]=iJ_x,[J_z,J_x]=iJ_y$.

И мой вопрос заключается в следующем : в КМ у нас может быть 1-компонентный оператор импульса$\hat{p}$, или 2-компонентный оператор импульса$(\hat{p_x},\hat{p_y})$, и так далее. Но почему мы никогда не сталкивались с угловым моментом только с двумя компонентами?$J=(J_x,J_y)$? Можем ли мы определить двухкомпонентный угловой момент? Как и в случае с CM , опять же, в случае с QM цифра 3 особенная , почему?

Заранее спасибо.

Кстати: больше вопросов, касающихся определения групп вращения для углового момента, можно найти здесь , кому интересно, может посмотреть, спасибо.