Каково физическое отношение классического предела к квантовой теории поля?

Question

Каково физическое отношение классического предела к квантовой теории поля?

Дэвид Робертс

Мы хорошо знаем физическую значимость классического предела квантовой механики. Однако, если я возьму классический предел квантовой теории поля, ответ не так ясен.

Предположим, я беру гамильтониан для свободного электрона, движущегося в одном измерении, т. е. $\hat H=\hat p^2/2m$ . Классическим пределом этой теории является гамильтониан $H=p^2/2m$ , что соответствует точечной частице, движущейся с постоянной скоростью.

Однако предположим, что теперь я беру гамильтониан для $N$ свободные электроны, т. $\hat H=\int dx\,\psi^\dagger(x)(\hat p^2/2m)\psi(x)$ . Классическим пределом этой теории является гамильтониан $H=\int dx\,\bar \psi(x)(-\hbar^2\partial^2/2m)\psi(x)$ .

Разве мы не должны просто получить $N$ точечные частицы, движущиеся с постоянной скоростью? Вместо этого мы получаем эту странную одномерную волну...

Любопытный

Как вы определяете классический предел квантовой механики (под которым вы подразумеваете нерелятивистскую теорию отдельных частиц?)?

ℏ \to 0

$\hbar \to 0$ ? Это даже не определено. Возьмите атом водорода и измените

ℏ

$\hbar$ . Что происходит? Получится ли у вас классический кусок материи, состоящий только из атома водорода, с масштабированным энергетическим спектром и размером?

юггиб

@CuriousOne Значение принятия классического предела квантовых теорий довольно стандартно и общепринято, и это означает рассмотрение эффективной теории, возникающей из квантовой, когда квантовые эффекты становятся незначительными (или, как сказал Бор, «в пределе больших квантовых числа"). Для того чтобы квантовая теория была разумной, необходимо, чтобы она воспроизводила макроскопическую классическую теорию в подходящем эффективном режиме. Доказательство этого факта далеко не тривиально, но недавно у нас появилась точная и вполне удовлетворительная картина для многих интересных квантовых теорий.

Любопытный

@yuggib: Просто потому, что некоторые размахивания руками являются «довольно стандартными и приемлемыми», и тот же бессмысленный аргумент можно найти в первой главе каждого учебника по квантовой механике начального уровня в мире, НЕ означает, что нужно проглотить это крючок, леска и грузило. .

ℏ

$\hbar$ в уравнении Шредингера задается масштаб, и это все, что он делает. Не существует предельной процедуры, которая может изменить эту шкалу на классическое поведение. Попробуйте сами и посмотрите, что получится. Это также не то, как природа переходит от QM к CM. Вместо этого он использует декогеренцию.

юггиб

@CuriousOne Я не тот, кто машет рукой, см. ссылки в другом комментарии под моим ответом. Существует огромное количество математической и физической литературы по этой теме, и многие вещи в настоящее время хорошо изучены в строгой и удовлетворительной форме. И, кстати, это на самом деле моя тема исследования, так что да, я попробовал это на себе и могу дать вам все результаты, которые вы хотите. Невежество не является оправданием грубости и неправильности.

Ответы (1)

Каково физическое отношение классического предела к квантовой теории поля?

Как вы определяете классический предел квантовой механики (под которым вы подразумеваете нерелятивистскую теорию отдельных частиц?)? $\hbar \to 0$ ? Это даже не определено. Возьмите атом водорода и измените $\hbar$ . Что происходит? Получится ли у вас классический кусок материи, состоящий только из атома водорода, с масштабированным энергетическим спектром и размером?
@CuriousOne Значение принятия классического предела квантовых теорий довольно стандартно и общепринято, и это означает рассмотрение эффективной теории, возникающей из квантовой, когда квантовые эффекты становятся незначительными (или, как сказал Бор, «в пределе больших квантовых числа"). Для того чтобы квантовая теория была разумной, необходимо, чтобы она воспроизводила макроскопическую классическую теорию в подходящем эффективном режиме. Доказательство этого факта далеко не тривиально, но недавно у нас появилась точная и вполне удовлетворительная картина для многих интересных квантовых теорий.
@yuggib: Просто потому, что некоторые размахивания руками являются «довольно стандартными и приемлемыми», и тот же бессмысленный аргумент можно найти в первой главе каждого учебника по квантовой механике начального уровня в мире, НЕ означает, что нужно проглотить это крючок, леска и грузило. . $\hbar$ в уравнении Шредингера задается масштаб, и это все, что он делает. Не существует предельной процедуры, которая может изменить эту шкалу на классическое поведение. Попробуйте сами и посмотрите, что получится. Это также не то, как природа переходит от QM к CM. Вместо этого он использует декогеренцию.
@CuriousOne Я не тот, кто машет рукой, см. ссылки в другом комментарии под моим ответом. Существует огромное количество математической и физической литературы по этой теме, и многие вещи в настоящее время хорошо изучены в строгой и удовлетворительной форме. И, кстати, это на самом деле моя тема исследования, так что да, я попробовал это на себе и могу дать вам все результаты, которые вы хотите. Невежество не является оправданием грубости и неправильности.

юггиб · Answer 1

Все зависит от масштабирования, т.е. от того, какой параметр считать малым (большим) в вашем эффективном описании системы.

Обычно квазиклассический параметр интерпретируется как величина, «эквивалентная» $\hbar$ , но стремится к нулю. Это удобно, так как в классической шкале энергий постоянная Планка сравнительно очень мала. Эквивалентно, мы можем думать о квазиклассическом параметре как об обратном «характерной частоте» волны частицы (и, следовательно, классический предел - это предел очень высоких частот).

Другим другим параметром является количество частиц. $N$ . Мы можем подумать о том, чтобы взять предел $N\to\infty$ в данном $N$ -система частиц. Оказывается, что математически это похоже на классический предел, но физическая интерпретация совсем другая .

Итак, рассмотрим систему $N$ свободные нерелятивистские бозоны массы $1/2$ . Их гамильтониан можно записать как

{ЧАС}_{Н} "=" \sum_{Дж "=" 1}^{Н} - ℏ^{2} Δ_{{Икс}_{Дж}};

$H_N=\sum_{j=1}^N -\hbar^2\Delta_{x_j}\; ;$ где

Δ_{x}

$\Delta_x$ является лапласианом или, что то же самое, в обозначении «второго квантования»

{ЧАС}_{Н} "=" - ℏ^{2} \int_{р^{3}} а^{*} (Икс) Δ_{Икс} а (Икс) г Икс |_{л_{с}^{2} (р^{3 Н})};

$H_N = -\hbar^2\int_{\mathbb{R}^3}a^*(x)\Delta_x a(x)dx\; \Bigr\rvert_{L^2_s(\mathbb{R}^{3N})}\; ;$ где ограничение на

L_{s}^{2} (R^{3 N})

$L^2_s(\mathbb{R}^{3N})$ означает, что мы просто рассматриваем сектор с

N

$N$ частиц (поскольку на самом деле число частиц здесь сохраняется, и рассматривать все фоковское пространство не так полезно).

Теперь, если вы возьмете предел $N\to\infty$ , вы действительно получаете функционал энергии (уже не оператор, отсюда «классическая» бесконечномерная теория поля) типа

Е (ты) "=" - ℏ^{2} \int_{р^{3}} \bar{ты} (Икс) Δ_{Икс} ты (Икс) г Икс;

$E(u)=-\hbar^2\int_{\mathbb{R}^3}\bar{u}(x)\Delta_x u(x)dx\; ;$ где

u \in L^{2} (R^{3})

$u\in L^2(\mathbb{R}^3)$ является «классической» (точнее, средней полевой) переменной, соответствующей распределению со значениями оператора уничтожения

a (x)

$a(x)$ . Интерпретация свободной квантовой теории среднего поля :

u

$u$ представляют собой эффективную волновую функцию одной частицы под действием всех других объединенных частиц (что в этом случае сводится к свободной частице, поскольку взаимодействия не было). При слабом двухчастичном (в пределе

N \to \infty

$N\to\infty$ ) взаимодействия вы получили бы энергетический функционал Хартри и соответствующую динамику Хартри.

Если вы возьмете предел $\hbar\to 0$ вместо этого вы получаете $N$ свободные классические частицы с функцией энергии

Е (\vec{Икс}, \vec{п}) "=" \sum_{Дж "=" 1}^{Н} п_{Дж}^{2};

$E(\vec{x},\vec{p})=\sum_{j=1}^N p_j^2\; ;$ где

p_{j} \in R^{3}

$p_j\in\mathbb{R}^3$ это импульс

j

$j$ -я частица.

Как видите, эти два предела имеют совершенно разные физические интерпретации, даже если математически они очень похожи. Замечу, что их можно комбинировать и «коммутативным» образом; в итоге вы получите классическую эволюцию власовского типа для бесконечного числа классических частиц (и то, и другое, если вы сделаете это до $\hbar\to 0$ а затем $N\to\infty$ или наоборот).

Ситуация меняется, если вы рассматриваете «настоящую» КТП, в которой могут создаваться или уничтожаться частицы, например, фотоны в КЭД. Там классический предел $\hbar\to 0$ прямо дает, как и ожидалось, классическую теорию поля . С другой стороны, среднее поле не имеет такого смысла, поскольку существуют квантовые состояния с неопределенным (возможно, очень большим) числом частиц; а поскольку число не сохраняется, даже если вы начинаете с фиксированного числа частиц, после эволюции вы получаете состояние с ненулевой вероятностью иметь разное число частиц.

Каково физическое отношение классического предела к квантовой теории поля?

Дэвид Робертс

Любопытный

юггиб

Любопытный

юггиб

Ответы (1)

юггиб

ℏ→0ℏ→0\hbar \rightarrow 0 в квантовой механике

Нужна ли классическая физика, чтобы понять квантовую физику? [закрыто]

Вопросы об угловом моменте и трехмерном (3D) пространстве?

Почему нет единого «рецепта» квантования классической теории?

Нётеровский заряд для преобразования Лоренца в терминах операторов рождения/уничтожения

Основные предпосылки для изучения QFT

Почему классический нётеровский заряд становится генератором квантовой симметрии?

Спонтанное нарушение симметрии в классической механике, квантовой механике и квантовой теории поля

Как я могу увидеть, что системы повседневной жизни ведут себя классически (из интегралов по траекториям КТП)?

Почему −iℏ∇⃗ −iℏ∇→-i\hbar\vec\nabla для импульса в квантовой механике, а mv⃗ mv→m\vec{v} в классической механике?