Почему нулевой химический потенциал не допускает бозе-эйнштейновской конденсации фононов?

Существует важное различие между конденсацией Бозе-Эйнштейна атомов и квазичастиц, которое я опишу ниже.

Конденсация Бозе-Эйнштейна идеального (атомарного) бозе-газа

Для бозонов химический потенциал$\mu$имеет важное ограничение:$\mu<E_{0} \equiv 0$где$E_{0}$– энергия основного состояния. В противном случае номер занятия$\mathcal{N}(E)$будет иметь отрицательное значение, которое не является физическим. Общая плотность частиц$n$рассчитывается с использованием плотности состояний на объем$\mathcal{D}(E)$и оккупационный номер$\mathcal{N}(E)$следуя распределению Бозе-Эйнштейна:

$$\begin{align} n &= \int_{0}^{\infty} \mathcal{D}(E)\mathcal{N}(E)dE\\ &= \frac{1}{V}\frac{1}{e^{-\mu/k_{\textrm{B}}T}-1} + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(2\pi)^{2}}\left(\frac{2m}{\hbar^{2}}\right)^{3/2}\frac{\sqrt{E}}{e^{(E-\mu)/k_{\textrm{B}}T}-1}dE \end{align}$$ Предположим, мы держим $T$постоянна и увеличивает плотность частиц $n$путем добавления частиц в систему (обратите внимание, что $n$является возрастающей функцией $\mu$). Для увеличения плотности мы должны соответственно увеличить значение $\mu$. В верхнем пределе $\mu \rightarrow 0$, плотность частиц становится $$\begin{equation} n \simeq \underbrace{-\frac{k_{\textrm{B}}T}{\mu V}}_{n_{0}} + \underbrace{\frac{2.612}{\lambda_{\textrm{th}}^{3}}}_{n_{\textrm{th}}} \end{equation}$$ где $\lambda_{\textrm{th}}$– тепловая длина волны де Бройля. Первый член (плотность основного состояния $n_{0}$) неограниченно возрастает как $\mu\rightarrow 0$, а второй член (плотность возбужденного состояния $n_{\textrm{th}}$) приближается к конечному пределу. Следовательно, основное состояние может вмещать избыточные частицы, которые не могут принять все возбужденные состояния. После этого любые добавленные частицы должны перейти в основное состояние и образовать конденсат Бозе-Эйнштейна. Тогда химический потенциал выражается как $$\begin{equation} \mu = -\frac{k_{\textrm{B}}T}{(n-n_{\textrm{th}})V} = -\frac{k_{\textrm{B}}T}{N_{0}} \end{equation}$$ где $N_{0}$- число частиц в основном состоянии. Обратите внимание, что химический потенциал равен нулю только в термодинамическом пределе, когда общее число частиц $N$бесконечно. В реальной системе химический потенциал всегда отличен от нуля.

Бозе-эйнштейновская конденсация фотонов и фононов

Однако существуют системы, в которых химический потенциал равен нулю даже при высоких температурах и низких плотностях. Нулевой химический потенциал$\mu = 0$означает, что его сопряженная переменная, число частиц$N$, не сохраняется. Другими словами, если преобладают взаимодействия, изменяющие число частиц, то нет свободной энергии, сопровождаемой добавлением или удалением частицы. Наиболее распространенным примером являются фотоны, которые могут поглощаться и излучаться материей; следовательно, количество фотонов может варьироваться без затрат энергии. Количество фотонов постоянно и автоматически подстраивается под планковское распределение.

$$\begin{equation} \mathcal{N}(E) = \frac{1}{e^{E/k_{\textrm{B}}T}-1} \end{equation}$$ которое представляет собой распределение Бозе-Эйнштейна с нулевым химическим потенциалом. Использование плотности состояний $\mathcal{D}(E)$для безмассовых частиц плотность фотонов становится $$\begin{equation} n = \int_{0}^{\infty}\mathcal{D}(E)\mathcal{N}(E)dE = \int_{0}^{\infty}\frac{E^{2}}{\pi^{2}\hbar^{3}c^{3}}\frac{1}{e^{E/k_{\textrm{B}}T}-1}dE \simeq 2.404\frac{(k_{\textrm{B}}T)^{3}}{\pi\hbar^{3}c^{3}} \end{equation}$$ То же верно и для акустических фононов с линейной дисперсией, за исключением скорости света $c$заменяется скоростью звука.

Обратите внимание, что это удовлетворяет большинству условий конденсации Бозе-Эйнштейна. Плотность состояний обращается в нуль для основного состояния$\mathcal{D}(E\rightarrow 0) = 0$, поэтому количество частиц имеет конечный предел, определяемый приведенным выше интегрированием. Кроме того, государственная оккупация$\mathcal{N}(E=0)$бесконечно. Однако плотность частиц в основном состоянии

$$\begin{equation} n_{0} \propto \lim_{E\rightarrow 0}\frac{E^{2}}{e^{E/k_{\textrm{B}}T}-1} = 0 \end{equation}$$ в отличие от предыдущего случая для атомов, где плотность основного состояния расходится как $$\begin{equation} n_{0} \propto \lim_{E\rightarrow 0}\frac{\sqrt{E}}{e^{E/k_{\textrm{B}}T}-1} = \infty. \end{equation}$$ Плотность основного состояния $n_{0}$для фотонов никогда не сравнима с плотностью тепловых фотонов $n_{\textrm{th}}$, хотя заселенность основного состояния бесконечна. Кроме того, любая добавленная (удаленная) частица исчезнет (появится вновь), так что свободная энергия будет минимизирована, т. е. химический потенциал равен нулю. Единственный способ изменить среднее число частиц — это изменить температуру. Следовательно, конденсация Бозе-Эйнштейна не может происходить в системах без сохранения числа частиц.

Кроме того, как отмечено в другом ответе, основное состояние фотона (или акустического фонона при$\Gamma$точка) имеет нулевую энергию, за исключением флуктуации вакуума — возбуждения нет вообще. Нулевая энергия$\hbar \omega = 0$по существу означает, что фотона (колебания решетки) нет, а количество фотонов (фононов) в основном состоянии равно нулю по определению. Это происходит из-за формы дисперсии.

Но что, если вы спроектируете структуру фотонной (акустической) запрещенной зоны так, чтобы существовал конечный минимум дисперсии фотонов (фононов)? Даже в этом случае и даже если плотность состояний масштабируется как$\mathcal{D}(E)\propto\sqrt{E}$как и в атомном случае, следует обратить внимание на еще один важный момент: масштабы времени квазичастиц.

Бозе-эйнштейновская конденсация квазичастиц

Квазичастицы, как правило, исчезают через долгое время, и количество квазичастиц сохраняется только в определенном масштабе времени. Как упоминалось выше, сохранение числа частиц необходимо для ненулевого химического потенциала и конденсации Бозе-Эйнштейна. Поэтому важно сравнение между временем жизни и другими временными масштабами.

Время жизни квазичастицы ($\tau_{\textrm{l}}$) имеет две составляющие: радиационное время жизни ($\tau_{\textrm{r}}$) и безызлучательный срок службы ($\tau_{\textrm{nr}}$). Первое связано с взаимодействием с фотонными модами, а второе связано с взаимодействием с другими частицами, такими как фононы или дефекты. С другой стороны, время взаимодействия ($\tau_{\textrm{int}}$) можно классифицировать по нескольким признакам. Один из способов основан на типе рассеивающихся частиц: самовоздействие ($\tau_{\mathrm{self}}$) и взаимодействия с ванной ($\tau_{\mathrm{bath}}$). Другой способ — использовать сохранение числа в качестве критерия: сохраняющие числа взаимодействия ($\tau_{\mathrm{c}}$) и не сохраняющие число взаимодействия ($\tau_{\mathrm{nc}}$).

Эти временные шкалы, как правило, взаимосвязаны. Например,$\tau_{\mathrm{self}}$может включать оба$\tau_{\mathrm{c}}$(например, упругое двухмагнонное столкновение) и$\tau_{\mathrm{nc}}$(например, генерация второй гармоники фотонов). В качестве другого примера, экситон-фононные взаимодействия могут забирать энергию экситонов, но не разрушать экситоны ($\tau_{\mathrm{c}}$), в то время как магнон-фононные взаимодействия могут разрушать магноны, испуская фононы ($\tau_{\mathrm{nc}}$и$\tau_{\mathrm{nr}}$). По этой причине нетривиально сделать единственное утверждение для условия конденсации Бозе-Эйнштейна квазичастиц. Тем не менее, должно выполняться следующее условие:

$$\begin{equation} \tau_{\mathrm{c}} < \tau_{\mathrm{l}} < \tau_{\mathrm{nc}} \end{equation}$$ Первое неравенство — это условие термализации: квазичастицам необходимо достаточно большое время жизни, чтобы термализовываться ( $\tau_{\mathrm{self}}$) или термировать в ванну ( $\tau_{\mathrm{bath}}$). Второе неравенство означает, что квазичастицу можно рассматривать как термодинамическую частицу, если не сохраняющее число время рассеяния ( $\tau_{\mathrm{nc}}$) больше, чем время жизни.

Например, рассмотрим случай, когда в равновесную систему добавляются нетепловые квазичастицы. Система возмущена исходным равновесным распределением Бозе-Эйнштейна. После$\tau_{\mathrm{c}}$, квазичастицы будут иметь новое распределение с ненулевым химическим потенциалом и четко определенной температурой, которая может быть равной или отличной от температуры ванны. Он определяется тем, преобладает ли в характере сохраняющих число взаимодействий$\tau_{\mathrm{self}}$или$\tau_{\mathrm{bath}}$. Если квазичастицы распадаются после этого времени, но до$\tau_{\mathrm{nc}}$, то система может постоянно накачиваться для пополнения квазичастиц, что называется управляемой диссипативной системой. Однако, если$\tau_{\mathrm{nc}}$короче, чем$\tau_{\mathrm{l}}$, распределение подгоняется к равновесному распределению с нулевым химическим потенциалом, и квазичастица в конце всегда будет иметь нулевой химический потенциал. Для фотонов,$\tau_{\mathrm{nc}}$обычно намного короче, чем$\tau_{\mathrm{l}}$так что количество фотонов быстро адаптируется к планковскому распределению. Для атомарных конденсатов время столкновения трех тел$\tau_{\mathrm{nc}}$устанавливает верхний предел плотности частиц.

Я думаю, что у вас есть все правильные идеи в вашем вопросе.

В обычном БЭК число частиц сохраняется. Следовательно, по мере того, как T приближается к 0,$\mu$поднимается к наинизшему состоянию для сохранения числа частиц. Таким образом, количество частиц в низшем состоянии увеличивается... в конечном итоге становится макроскопически большим, и это БЭК (в ситуации невзаимодействия).

Для фононов число частиц не сохраняется, и$\mu$всегда равен 0 (в равновесии). Следовательно, по мере того, как T становится ниже, но$\mu$остается прежним, занятость каждого отдельного режима снижается . Это видно непосредственно из формулы.

PS: Вы упомянули акустический фонон нулевой частоты. Ну, это всего лишь нулевая частота в расчёте из учебника для бесконечно большого кристалла. Реальные объекты имеют конечный размер, а самая низкая фононная частота соответствует основной акустической моде объекта. Говоря повседневным языком, попробуйте ударить по кристаллу палкой и послушать, как он звенит. Какая это частота? Может быть, 300 Гц для небольшого объекта? Что ж, 300 Гц — это самый низкочастотный фонон. Занятость этой низкочастотной фононной моды 300 Гц уменьшается с температурой, как и все другие фононные моды.