Почему химический потенциал конденсата Бозе-Эйнштейна обращается в нуль?

Мы -сначала- исчерпываем химический потенциал, а -затем- начинаем занимать низшее состояние. Чем это объясняется?

Это «сначала»/«потом» не является логикой, используемой при выводе конденсата Бозе-Эйнштейна, но это интуитивная картина того, что происходит.

Итак, у нас есть для нашего великого канонического потенциала что-то вроде:$\Omega=T \sum_{i} \log(1-e^{\beta(\mu-\varepsilon_i)})$, и мы можем найти число частиц через$N=-\frac{\partial \Omega}{\partial \mu}$. Это точные, истинные уравнения квантовой статистической механики. Вот где ваша путаница:

Мы приближаем$\Omega=T \int \nu(\varepsilon)\log(1-e^{\beta(\mu-\varepsilon)})d\varepsilon$, где$\nu$есть плотность состояний. Это хорошее приближение в ферми-газе, где низкоэнергетические состояния заполнены, но лишь на несколько процентов.$N\approx 10^{23}$частицы. Это хорошее приближение для идеального газа, где$T$велика, и большинство занятий находится в более высоких энергетических состояниях. Но это ужасное приближение для БЭК, потому что поведение низкоэнергетических состояний вообще не улавливается интегралом!

Итак, какие у нас сейчас варианты? Мы, вероятно, не хотим работать непосредственно с суммой, но мы не можем просто взять интеграл. В некоторых книгах любят выделять член основного состояния и аппроксимировать остальное интегралом, и я сделаю это здесь.

$$\Omega=T \log(1-e^{\beta \mu})+\int \nu(\varepsilon)\log(1-e^{\beta(\mu-\varepsilon)})d\varepsilon$$

Это дает... (обозначим$z=e^{\beta \mu}$)

$$N=\frac{z}{1-z}+\int \nu(\varepsilon)\frac{1}{z^{-1} e^{\beta \varepsilon}-1}d\varepsilon$$

Для низких температур крайний правый член в основном постоянен, а крайний левый резко меняется ($\frac{z}{1-z}\to\infty$как$\mu \to 0$), что позволяет вам сопоставить любое желаемое значение$N$.

Теперь вы можете задать вопрос: при конечной температуре$T$с номером частицы$N$, если я добавлю еще один к$N$, сколько расщепляется между основным состоянием и сколько расщепляется между возбужденными состояниями? Ну если$|\mu|$мало (это эквивалентно$T<T_c$),$z\approx 1-\beta |\mu|$,$\nu=C \varepsilon^{1/2}$, и$\int \frac{\varepsilon^{1/2}}{z^{-1}e^{\beta\varepsilon}-1}d\varepsilon=T^{3/2} \Gamma(3/2) \mathrm{Li}_{3/2}(z)$. Математика говорит мне$\mathrm{Li}_{3/2}(1-\beta |\mu|)\approx \zeta(3/2)-2\sqrt{\pi \beta |\mu|}+O(\beta \mu)$, так что в целом:

$$\begin{align*} N&\approx\frac{z}{1-z}+\int \nu(\varepsilon)\frac{1}{z^{-1} e^{\beta \varepsilon}-1}d\varepsilon\\ &= \frac{1}{\beta |\mu|}-1+C T^{3/2} \Gamma(3/2)\left( \zeta(3/2)-2\sqrt{\pi \beta |\mu|} \right)+O(\mu) \end{align*}$$

Для больших$N$и маленький$\mu$, вклад первого члена,$\frac{1}{\mu}$, доминирует на сегодняшний день! Он говорит вам, что «как$N\to \infty$, основное состояние начинает удерживать почти все состояния».

Вклад последующих членов включает в себя постоянный член, который представляет собой представление о том, что вы сначала заполняете возбужденные состояния, и поправку к понятию, в которой говорится, что вы оставляете крошечную часть возбужденных состояний незаполненными, пропорциональную$\sqrt{|\mu|}$.

Вы можете продолжать и продолжать этот материал с разной степенью строгости. Приложение F к статистической механике Pathria делает это таким образом, что не выводит первый член из интеграла, а вместо этого работает с суммами напрямую, записывая$\varepsilon$с точки зрения энергетических уровней частицы в трехмерном ящике.

[править/сноска]: обратите внимание, что интегралы, которые я беру, взяты из$\varepsilon=0$к$\varepsilon=\infty$. Я предполагаю, что основное состояние имеет нулевую энергию! Это нормально, потому что все, о чем мы заботимся, это разница$\mu-\varepsilon_i$. я могу сдвинуть$\varepsilon$любой энергией, которую я хочу, пока я перемещаюсь$\mu$соответственно, чтобы разница осталась прежней. Выбор$\varepsilon_0=0$дает обычный$\mu\to 0$как$T\to 0$закона, но если бы мы переложили все на$\varepsilon_0=10 \mathrm{ Joules}$или что-то еще, вы, безусловно,$\mu\to 10 \mathrm{ Joules}$как$T\to 0$. Уравнения были бы намного уродливее, но физика осталась бы той же.

Я знаю, что это старый пост, но я думаю, что этот ответ может быть кому-то полезен.

Статистика Бозе-Эйнштейна:$N(\epsilon, \mu, T)=\frac 1 {e^{\beta(\epsilon-\mu)}}$

Отсюда следует, что:$N(0, \mu, T)=\frac 1 {e^{-\beta \mu}}$

Если$N(0, \mu, T)$мало уважения к$N_{av}$, мы можем использовать приближение:$\sum_\lambda N_\lambda \rightarrow\int \rho (\epsilon) N(\epsilon, \mu, T) d \epsilon$.

Теперь, если считать справедливым приближение$\sum_\lambda N_\lambda \rightarrow\int \rho (\epsilon) N(\epsilon, \mu, T) d \epsilon$, мы находим, что система не может иметь температуру ниже температуры Бозе,$T_B$.

Однако в этом нет смысла, мы наверняка можем поместить фиксированное количество газа в контейнер и охладить его ниже$T_B$. По этой причине под$T_B$, мы не можем считать приближение верным (это привело бы к нефизическим результатам). Но, если приближение неверно, это означает, что$N(0, \mu, T)$не мало уважения к$N_{av}$(иначе приближение было бы правильным).

С,$N(0, \mu, T)=\frac 1 {e^{-\beta \mu}}$, единственный способ получить его большим для конечных температур состоит в том, что$\mu$близок к нулю.