Почему обе эквивалентные формы этой дельта-функции не дают правильного ответа?

Question

Почему обе эквивалентные формы этой дельта-функции не дают правильного ответа?

дхфвей

Я немного запутался в основной проблеме, связанной с интегрированием дельта-функции Дирака в кратный интеграл.

Исходная задача состоит в том, чтобы найти распределение вероятностей в позиции-импульсе. $(z,p)$ пространство мяча, подпрыгивающего вверх и вниз, при условии, что мяч достигает максимальной высоты $z=h$ . Теперь основной аргумент сохранения энергии дает нам, что $p(z) = \pm m \sqrt{2g(h-z)}$ где $m$ это масса и $g$ есть гравитационное ускорение. Мы также знаем, что плотность вероятности найти мяч в $z$ обратно пропорциональна скорости мяча в $z$ , а именно $p(z)/m$ . Итак, распределение вероятностей

п (г, п) "=" \frac{С}{\sqrt{2 г (час - г)}} [дельта (п - м \sqrt{2 г (час - г)}) + дельта (п + м \sqrt{2 г (час - г)})]

$P(z,p) = \frac{C}{\sqrt{2g(h-z)}}\left[ \delta(p-m\sqrt{2g(h-z)})+\delta(p+m\sqrt{2g(h-z)}) \right]$

где $C$ является нормирующим фактором. Найти $C$ , мы можем просто интегрировать $P$ над $z$ и $p$ и установить результат равным $1$ , используя дельта-функции для выполнения $p$ интегральный и интегрирующий $z$ от $0$ к $h$ , и получаем правильный ответ. Мой вопрос в том, почему эта стратегия не работает, если мы пишем

п (г, п) "=" \frac{Д}{| п |} дельта (г - час + п^{2} / (2 м^{2} г)) ?

$P(z,p) = \frac{D}{|p|} \delta(z-h+p^2/(2m^2g))?$ В этом случае, когда мы пытаемся найти нормировку

D

$D$ , если мы попытаемся избавиться от дельта-функции, проинтегрировав по

z

$z$ а затем мы интегрируем по соответствующему диапазону

p

$p$ , мы терпят неудачу, потому что

1 / | p |

$1/|p|$ интеграл расходится, тогда как

1 / \sqrt{2 g (h - z)}

$1/\sqrt{2g(h-z)}$ интеграл сходится. Что мне здесь не хватает?

Ответы (2)

Почему обе эквивалентные формы этой дельта-функции не дают правильного ответа?

Тимей · Answer 1

Во втором случае вы хотите делить на силу, а не на скорость.

По сути, вы вычисляете, какую часть времени вы проводите в определенной точке фазового пространства.

Однако у вас есть плотность вероятности. Так $P(z,p)$ это то, что вы умножаете на объем в фазовом пространстве, чтобы получить вероятность.

Правильным способом его получения было бы рассмотрение всего периода (например, времени сверху вниз, или снизу вверх, или от любой точки фазового пространства до самой себя).

Дельта Дирака имеет единицы. Он имеет единицу по аргументу, поэтому, поскольку $\int \delta (x) dx=1$ затем $\delta (x)$ имеет единицы обратно пропорционального расстояния и $\int \delta (p) dp=1$ затем $\delta (p)$ имеет единицы обратного импульса.

Когда вы интегрируете по импульсу, вы получаете плотность вероятности для позиции. У этого есть единицы, которые вы умножаете на расстояние, чтобы получить вероятность нахождения в этом диапазоне расстояний.

Эти плотности вероятности по позициям - это те, где она обратно пропорциональна скорости. Таким образом, после интегрирования по импульсу вы получаете вероятность на единицу длины, а вероятности на единицу длины обратно пропорциональны скорости. Так что это должно работать.

Однако, если вы интегрируете по положению, у вас есть плотность вероятности импульса. Это то, что вы умножаете на диапазон импульсов, чтобы получить вероятность наличия импульса в этом диапазоне. Нет правила, согласно которому такая плотность обратно пропорциональна скорости. И это не так, оно обратно пропорционально силе.

Это похоже на то, как плотность энергии отличается для частоты и длины волны, потому что каждое из них — это то, что вы умножаете на ряд вещей, чтобы получить фактическое количество материала. См. мой ответ на https://physics.stackexchange.com/a/165256 , если вам нужна дополнительная информация о плотности в разных объединенных доменах.

Давайте рассмотрим, откуда взялось это правило обратной пропорциональности скорости. Как упрощение на временном интервале $\Delta t$ вы можете путешествовать на большое расстояние $\Delta z$ "=" $v\Delta t$ И на самом деле вероятность, которую вы вычисляете, равна $\Delta t/T$ где $T$ это тот период, который я упомянул.

Таким образом, вероятность того, что вы находитесь в области шириной $\Delta z$ пропорциональна количеству времени $\Delta t$ вы проводите там. Таким образом, обратно пропорционально скорости, на самом деле это $\Delta z/(vT).$ Таким образом, пространственная плотность $1/(vT).$ И это правило не применяется, если вы спрашиваете, сколько времени что-то проводит в регионе размером $\Delta p.$ Так что не делите на скорость, если вы хотите, чтобы плотность вероятности находилась в диапазоне импульсов шириной $\Delta p.$

Чтобы определить плотность вероятности для импульсных интервалов, используйте $\Delta p$ "=" $F\Delta t$ тогда вероятность $\Delta t/T$ "=" $\Delta p/(FT)$ поэтому плотность вероятности для импульсных интервалов равна $1/(FT).$

Таким образом, плотность похожа на дельту Дирака, это то, что вы интегрируете, чтобы получить вероятность, но она должна быть за интервал расстояния или за интервал импульса, чтобы это было чем-то, что вы можете интегрировать.

И версия импульса должна дать вам паузу, так как обычно вам нужно правильно учитывать силу, когда она поворачивается вокруг земли. Таким образом, пересчет является проблемой для рассмотрения.

Qмеханик · Answer 2

TL;DR: подстановка внутри дельта-функции дает фактор Якоби

\begin{matrix} (1) & дельта (ф (в)) "=" \sum_{в_{(0)}, ф (в_{(0)}) "=" 0} \frac{1}{| ф^{'} (в_{(0)}) |} дельта (в - в_{(0)}) . \end{matrix}

$\tag{1} \delta(f(v))~=~ \sum_{v_{(0)},f(v_{(0)})=0 }\frac{1}{| f^{\prime}(v_{(0)})|} \delta(v-v_{(0)}).$

Здесь сумма по нулям $v_{(0)}$ функции $f(v)$ .

Рассмотрим для простоты скорость $v$ а не импульс $p=mv$ . Итак, энергосбережение

\begin{matrix} (2) & \frac{1}{2} в^{2} + г г "=" г час, 0 \leq г \leq час, | в | \leq \sqrt{2 г час}, \end{matrix}

$\tag{2} \frac{1}{2}v^2+gz ~=~gh, \qquad 0\leq z\leq h, \qquad |v|~\leq~\sqrt{2gh},$

получается парабола в $(v,z)$ самолет. Если мы определим функцию

\begin{matrix} (3) & ф (в) "=" г - час + \frac{в^{2}}{2 г}, \end{matrix}

$\tag{3} f(v)~:=~z-h +\frac{v^2}{2g},$

затем ур. (1) становится

\begin{matrix} (4) & дельта (г - час + \frac{в^{2}}{2 г}) "=" \frac{г}{| в |} \sum_{\pm} дельта (в \pm \sqrt{2 г (час - г)}) . \end{matrix}

$\tag{4} \delta(z-h +\frac{v^2}{2g}) ~=~\frac{g}{|v|}\sum_{\pm} \delta(v\pm \sqrt{2g(h-z)}).$

Отметим, в частности, что фактор $\frac{1}{|v|}$ в правой части ур. (4) не появляется в левой части.

Почему обе эквивалентные формы этой дельта-функции не дают правильного ответа?

дхфвей

Ответы (2)

Тимей

Qмеханик

Как рассчитать центр масс полой полусферы некоторой толщины?

Как выполнить интегралы по многомерной дельта-функции?

Аномальный магнитный момент электрона - задача интегрирования

Мнимая часть свободной энергии - теорема Сохоцкого Племени

Понимание дельты Хевисайда и Дирака для квантовой ступенчатой функции

Какими будут скалярные уравнения для скорости и перемещения, если ускорение подчиняется закону обратных квадратов?

Угловая зависимость элемента массы эллипса

Тройной интеграл ∭R3d3q δ3(q⃗)(p⃗ ⋅q⃗)2q2∭R3d3q δ3(q→)(p→⋅q→)2q2\iiint_{\mathbb{R}^3} d^{3}q ~\delta^ {3}(\vec{q})\frac{(\vec{p}\cdot\vec{q})^2}{q^{2}} с использованием дельта-функции Дирака

Бросание 14-гранного кубика

Как рассчитать момент инерции твердого куба? [закрыто]