Тройной интеграл ∭R3d3q δ3(q⃗)(p⃗ ⋅q⃗)2q2∭R3d3q δ3(q→)(p→⋅q→)2q2\iiint_{\mathbb{R}^3} d^{3}q ~\delta^ {3}(\vec{q})\frac{(\vec{p}\cdot\vec{q})^2}{q^{2}} с использованием дельта-функции Дирака

Question

Тройной интеграл ∭R3d3q δ3(q⃗)(p⃗ ⋅q⃗)2q2∭R3d3q δ3(q→)(p→⋅q→)2q2\iiint_{\mathbb{R}^3} d^{3}q ~\delta^ {3}(\vec{q})\frac{(\vec{p}\cdot\vec{q})^2}{q^{2}} с использованием дельта-функции Дирака

ХуШу

я пытаюсь найти
$∭_{р^{3}} г^{3} д {дельта}^{3} (\vec{д}) \frac{(\vec{п} \cdot \vec{д})^{2}}{д^{2}},$ $\iiint_{\mathbb{R}^3} d^{3}q ~\delta^{3}(\vec{q})\frac{(\vec{p}\cdot\vec{q})^2}{q^{2}},$ где $\vec{p}$ — некоторый фиксированный вектор.

Ответ должен быть $\frac{p^2}{3}$ . Ниже моя попытка, которая, кажется, приводит к неправильному ответу $\frac{p^2}{2}$ .

Попытка: Давайте выровняем $q_{z}$ с $\vec{p}$ , поэтому измеряем $\theta$ относительно $\vec{p}$ . Поскольку нет $\phi$ зависимость, поэтому я могу написать

{дельта}^{3} (\vec{д}) "=" \frac{дельта (д) дельта (θ)}{2 π д^{2} грех (θ)} .

$\delta^{3}(\vec{q})=\frac{\delta(q)\delta(\theta)}{2\pi q^{2}\sin(\theta)}.$

Поэтому у меня есть

п^{2} \int_{0}^{\infty} г д дельта (д) \int_{- π}^{π} г θ дельта (θ) {потому что}^{2} θ .

$p^{2}\int_{0}^{\infty} dq \delta(q)\hspace{1mm}\int_{-\pi}^{\pi}d\theta\hspace{1mm} \delta(\theta)\cos^2\theta .$

Я понимаю

\int_{0}^{\infty} дельта (д) г д "=" \frac{1}{2},

$\int_{0}^{\infty}\delta(q)dq = \frac{1}{2},$ если мы лечим

δ (q)

$\delta(q)$ как предельный случай симметричного распределения Гаусса. В то время

θ

$\theta$ интеграл

1

$1$ . Итак, мой ответ на мой вопрос

\frac{p^{2}}{2}

$\frac{p^2}{2}$ . Что отличается от правильного ответа

\frac{p^{2}}{3}

$\frac{p^2}{3}$ .

Итак, мои вопросы:

Что пошло не так в моем выводе?
Как получить и обосновать ответ $\frac{p^2}{3}$ из первых принципов?

Кайл Канос

Перекрестная публикация: math.stackexchange.com/q/1030142

Qмеханик

@ Кайл Канос: поскольку этот тройной интеграл обычно не определяется в математике, это может быть тот случай, когда требуется точка зрения физика, ср. meta.physics.stackexchange.com/q/5713/2451

Джерри Ширмер

Зачем усложнять это цилиндрическими координатами? просто используйте декартовы координаты и позвольте

δ^{3} (\vec{p}) = δ (p_{x}) δ (p_{y}) δ (p_{z})

$\delta^{3}({\vec p}) = \delta(p_{x})\delta(p_{y})\delta(p_{z})$

Ян Лалински

По определению, дельта-распределение

δ^{(3)} (\vec{q})

$\delta^{(3)}(\vec q)$ возвращает значение интегрированной функции в

\vec{q} = \vec{0}

$\vec{q}=\vec{0}$ . Пока не

\vec{p} = \vec{0}

$\vec{p}=\vec{0}$ , функция

| \vec{p} \cdot \vec{q} |^{2} / q^{2}

$|\vec{p}\cdot\vec{q}|^2/q^2$ не имеет значения в

\vec{0}

$\vec{0}$ . Следовательно, дельта не может работать. Проверьте, как было получено это интегральное предписание. Вероятно, где-то ошибка.

ХуШу

@Jerry: я уже пробовал это, ничего не упрощает.

ХуШу

@Jan Я не думаю, что это ошибка, эта дельта Дирака появилась в результате интеграции

e^{i \vec{q} . \vec{x}}

$e^{i\vec{q}.\vec{x}}$ общий

x

$x$ космос. Мой прогноз

\frac{p^{2}}{3}

$\frac{p^2}{3}$ это из-за того, что я получаю LHS = RHS в своих уравнениях.

Ян Лалински

Если хотите, опубликуйте процедуру, которая приводит к этому интегралу. Может быть, тогда мы сможем решить эту проблему.

Qмеханик

Оценивая тройной интеграл как три последовательных интеграла в декартовых координатах,

q_{i}

$q_i$ ,

i \in {1, 2, 3}

$i\in\{1,2,3\}$ , дает результат

p_{i}^{2}

$p_i^2$ , если

q_{i}

$q_i$ координата является самой внешней интеграцией. (сумма не более

i

$i$ .) Так морально, в среднем, что дает результат

\frac{p^{2}}{3}

$\frac{{\bf p}^2}{3}$ .

Ответы (2)

Тройной интеграл ∭R3d3q δ3(q⃗)(p⃗ ⋅q⃗)2q2∭R3d3q δ3(q→)(p→⋅q→)2q2\iiint_{\mathbb{R}^3} d^{3}q ~\delta^ {3}(\vec{q})\frac{(\vec{p}\cdot\vec{q})^2}{q^{2}} с использованием дельта-функции Дирака

Перекрестная публикация: math.stackexchange.com/q/1030142
@ Кайл Канос: поскольку этот тройной интеграл обычно не определяется в математике, это может быть тот случай, когда требуется точка зрения физика, ср. meta.physics.stackexchange.com/q/5713/2451
Зачем усложнять это цилиндрическими координатами? просто используйте декартовы координаты и позвольте $\delta^{3}({\vec p}) = \delta(p_{x})\delta(p_{y})\delta(p_{z})$
По определению, дельта-распределение $\delta^{(3)}(\vec q)$ возвращает значение интегрированной функции в $\vec{q}=\vec{0}$ . Пока не $\vec{p}=\vec{0}$ , функция $|\vec{p}\cdot\vec{q}|^2/q^2$ не имеет значения в $\vec{0}$ . Следовательно, дельта не может работать. Проверьте, как было получено это интегральное предписание. Вероятно, где-то ошибка.
@Jerry: я уже пробовал это, ничего не упрощает.
@Jan Я не думаю, что это ошибка, эта дельта Дирака появилась в результате интеграции $e^{i\vec{q}.\vec{x}}$ общий $x$ космос. Мой прогноз $\frac{p^2}{3}$ это из-за того, что я получаю LHS = RHS в своих уравнениях.
Если хотите, опубликуйте процедуру, которая приводит к этому интегралу. Может быть, тогда мы сможем решить эту проблему.
Оценивая тройной интеграл как три последовательных интеграла в декартовых координатах, $q_i$ , $i\in\{1,2,3\}$ , дает результат $p_i^2$ , если $q_i$ координата является самой внешней интеграцией. (сумма не более $i$ .) Так морально, в среднем, что дает результат $\frac{{\bf p}^2}{3}$ .

Qмеханик · Answer 1

Подсказки:

В математике распределение обычно определяется только относительно. гладкие тестовые функции. Однако функция ${\bf q}\mapsto({\bf q}\cdot{\bf p})^2/q^2$ не является непрерывным в начале координат ${\bf q}={\bf 0}$ . Тем не менее, мы можем, например, попытаться вычислить тройной интеграл, используя следующее представление трехмерного дельта-распределения Дирака.
$\begin{matrix} (1) & {дельта}^{3} (д) "=" \underset{ε \to 0^{+}}{лим} \frac{1}{4 π} \frac{3 ε}{(д^{2} + ε)^{\frac{5}{2}}}, д "=" | д |, \end{matrix}$ $\tag{1} \delta^3({\bf q})~=~ \lim_{\varepsilon\to 0^+} \frac{1}{4\pi} \frac{3\varepsilon}{(q^2+\varepsilon)^{\frac{5}{2}}}, \qquad q~:=~|{\bf q}|,$ где неявно подразумевается, что предел $\lim_{\varepsilon\to 0^+}$ следует принимать после тройного интегрирования.
Для данного $\varepsilon>0$ , подынтегральная функция интегрируема на $\mathbb{R}^3$ . И он ограничен в начале координат ${\bf q}={\bf 0}$ , поэтому мы можем использовать сферические координаты. Как упоминает ОП, в сферических координатах с ${\bf p}$ вдоль $z$ -ось, у нас есть
$\begin{matrix} (2) & \frac{(д \cdot п)^{2}}{д^{2}} "=" п^{2} {потому что}^{2} θ . \end{matrix}$ $\tag{2}\frac{({\bf q}\cdot{\bf p})^2}{q^2}~=~p^2\cos^2\theta.$
Заменять $q\to \sqrt{\varepsilon}q$ в тройном интеграле. $\varepsilon$ - зависимость исчезает. Выполнить тройной интеграл.

Спасибо! Но я хотел бы спросить, почему ваше определение дельты Дирака не зависит от углов, ведь у меня есть $\cos^2\theta$ под интегралом?

физук халаби · Answer 2

{дельта}^{3} (д ⃗) "=" \frac{дельта (д) дельта (θ)}{2 π д^{2} грех (θ)}

$δ^3(q⃗ )=\frac{δ(q)δ(\theta)}{2\pi q^2\sin(\theta)}$ неправильно. Дельта-функция сферически симметрична и поэтому не зависит от θ. Просто используйте:

г^{3} (д ⃗) "=" \frac{дельта (д)}{2 π д^{2}}

$d^3(q⃗ )=\frac{δ(q)}{2\pi q^2}$ вместо. Используйте якобиан при переключении систем координат (с декартовой на сферическую) (

r^{2} \sin (θ)

$r^2 \sin(\theta)$ ), и вы должны получить результат.

Спасибо! Однако я смущен тем, $\cos^2\theta$ термин, я думал, что сделал его не сферически симметричным. Что вы подразумеваете под сферически симметричной дельтой Дирака, разве дельта Дирака по определению не всегда сферически симметрична?
Он по определению сферически симметричен. Потому что ( $theta$ ) термин происходит от скалярного произведения, умножающего дельта-функцию, а не от самой дельта-функции...
Я согласен, но это не самая общая форма $\delta (\vec{r})=\frac{\delta(r)\delta(\theta)\delta(\phi)}{r^2\sin\theta}$ в сферических координатах? Разве это не $\theta$ из скалярного произведения, связанного с этим $\theta$ ?

Тройной интеграл ∭R3d3q δ3(q⃗)(p⃗ ⋅q⃗)2q2∭R3d3q δ3(q→)(p→⋅q→)2q2\iiint_{\mathbb{R}^3} d^{3}q ~\delta^ {3}(\vec{q})\frac{(\vec{p}\cdot\vec{q})^2}{q^{2}} с использованием дельта-функции Дирака

ХуШу

Кайл Канос

Qмеханик

Джерри Ширмер

Ян Лалински

ХуШу

ХуШу

Ян Лалински

Qмеханик

Ответы (2)

Qмеханик

ХуШу

физук халаби

ХуШу

физук халаби

ХуШу

Как выполнить интегралы по многомерной дельта-функции?

Аномальный магнитный момент электрона - задача интегрирования

Мнимая часть свободной энергии - теорема Сохоцкого Племени

Понимание дельты Хевисайда и Дирака для квантовой ступенчатой функции

Почему обе эквивалентные формы этой дельта-функции не дают правильного ответа?

Интегрирование e−itp2+m2√e−itp2+m2e^{-it\sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2}} для амплитуды QM

Как рассчитать центр масс полой полусферы некоторой толщины?

Интеграл мягких фотонов Вайнберга

Путаница с компонентом объема в законе Гаусса для цилиндра

Бит поляков в пропагаторе