Почему ответвление собственной энергии начинается с 2м2м2м?

Рассмотрим скалярное поле $\phi(x)$, и пусть его двухточечная функция

У нас обычно есть$\Pi(m^2)=0$, из чего следует, что существует одночастичное состояние с массой$m^2$. В терминах спектральной плотности это читается

С другой стороны, континуальный вклад обычно начинается с$(2m)^2$, означающий, что$\Pi(k^2)$имеет ветку, отрезанную от$(2m)^2$к$\infty$. Опять же, в терминах спектральной функции это записывается как$\text{supp}(\sigma)=[(2m)^2,\infty)$.

Мой вопрос

Я ожидаю, что первое связанное состояние будет близко к$(2m)^2$, но чуть ниже , что-то около$(2m)^2-\mathcal O(\alpha^n)$, где$\alpha$константа связи и$n\in\mathbb N$. Например, в упрощенной модели КЭД связанное состояние электрона и позитрона имеет энергию связи$\sim 7\mathrm{eV}\sim m\alpha^2$, и поэтому я ожидаю, что точка ветвления будет где-то около$(2m)^2-m^2\alpha^4$.

Я знаю значение собственной энергии на одну петлю, и точка разветвления действительно находится точно в$(2m)^2$. Я не знаю, где найти поправки на высшую петлю, поэтому не могу сделать вывод о том,

• 1) на более высоких петлях точка ветвления смещается немного ближе к$m^2$, или

• 2) остается на$(2m)^2$.

Я ожидаю, что правильное поведение будет 1), но это противоречит тому факту, что все книги, которые я читал, всегда изображают порог образования пар в виде гиперболоида, дно которого находится точно на$(2m)^2$. С другой стороны, если выяснится, что правильный вариант — 2), я задаюсь вопросом, почему теория возмущений не может правильно предсказать положение точки ветвления (я знаю, что это тонкая проблема, потому что связанные состояния в некоторой степени непертурбативные сущности; но, насколько мне известно, пертурбативные вычисления содержат много информации о связанных состояниях).