Интерпретация пропагатора

В квантовой механике ясно, что$\langle x|y\rangle = 0$для$x\ne y$, где$|x\rangle$это состояние с частицей в положении$x$. (Обратите внимание, что это$|x\rangle$отличается от обычного значения в большинстве учебников. В этой интерпретации мы нормализовали его так, что$\langle x | x \rangle=1$.) Однако меня немного смущает эта картина в релятивистской квантовой теории поля.

Игрушечный пример, с которым я играл, — это состояние одной частицы в массивном бозонном свободном поле. Предположим, что наше гильбертово пространство во времени$0$быть$\mathcal{H} = \text{span} \{|x\rangle|x^0=0\}$, где$|x\rangle$представляет собой состояние, в котором находится частица$x$.

можно найти$\langle x |y\rangle=D(x-y)=\int \frac{d^Dk}{(2\pi)^D} \frac{e^{ik(x-y)}}{k^2-m^2+i\epsilon}$в большинстве учебников. И после некоторых вычислений можно увидеть, что$D(0)=\infty$и$D(x)\ne 0$даже если$x\ne0$(т.е. когда они пространственно разделены). Я нашел это сбивающим с толку, когда мы соединили эти факты вместе$\langle x |y\rangle=D(x-y)$:

1. Это не нормируется на$1$когда$x=y$.

2. Предположим, что нормализация не является проблемой, и действительно$\langle x|y\rangle \ne 0$для$x\ne y$, как мы должны понимать это отличие от квантовой механики? Происходит ли это из-за релятивистского эффекта?

Я весьма заинтересован/удивлен/обеспокоен поведением в 2, поскольку, если бы это было правдой, было бы несколько двусмысленно писать$|x\rangle$в том смысле, что это также линейная комбинация частиц в других положениях.

редактировать: я чувствую, что есть момент, который еще не объяснен в ответах. Я попытаюсь показать суть, используя следующий вопрос.

Вопрос: следует

$$\int|x,t=0\rangle \langle x,t=0| d^Dx = \text{some const} \cdot I \tag{1}$$ (скажем, мы находимся в измерении D+1)

Это верно в контексте КМ, а также верно для когерентных состояний.$|p,x\rangle$в гармоническом осцилляторе.

Я считаю, что приведенное выше уравнение верно из-за его симметрии. Однако я не нашел способа доказать это, и вот контраргумент.

$$\begin{align} D(a-b) \sim \langle a|b \rangle &\sim \langle a|\int dx |x\rangle\langle x| b \rangle \\ &\sim \int dx D(a-x)D(x-b), \end{align}$$ что не относится к массивному полю в 1+1. (Учитывая это, можно попытаться заменить уравнение на$\int dx dy A(x,y)|x\rangle\langle y|=I$для некоторых не диагностических$A$, но я понятия не имею, зачем это нужно, и у меня нет явной конструкции.)

Несмотря на это, если считать вышеприведенное тождество (1) верным, константа определяется вычислением

$$\begin{align}c &=\langle x=0, t=0|c \cdot I|x=0, t=0 \rangle \\ &= \int d^Dx \langle x=0, t=0|x,t=0\rangle \langle x,t=0|x=0, t=0 \rangle \\ &= \int d^Dx D(x) D(-x)\end{align}.$$

Хотя тождество выглядит разумным, оно имеет неинтуитивное следствие:

$$|x=0,t=0\rangle = \int dx |x,t=0\rangle D(x),$$ это проблема, о которой я беспокоился.

(Одним из возможных бонусов этой точки зрения является то, что дополнительная линейная зависимость векторов состояния объясняет появление границы Бекенштейна.)