Что на самом деле означает вычислять вещи на уровне дерева?

Предположим, вы хотите вычислить корреляцию, скажем, в евклидовой подписи

$$\frac{1}{Z}\int D\phi\ \prod_i \phi(x_i)\ \exp\left(-\frac{1}{\hbar}S(\phi)\right)$$ с $$S(\phi)=\frac{1}{2}(\phi,A\phi)+g\int dx\ \phi(x)^4$$ где $(\phi,A\phi)=\int\ dx\ dy\ \phi(x)A(x,y)\phi(y)$для какой-то "матрицы" а точнее ядра $A$. Обычно это делается путем разложения функционального интеграла как $$\int D\phi\ \prod_i \phi(x_i)\ \exp\left(-\frac{1}{\hbar}S(\phi)\right)= \sum_{N=0}^{\infty} \int D\phi\ e^{-\frac{1}{2}(\phi,\frac{1}{\hbar}A\phi)} \prod_i \phi(x_i)\ \times \left(-\frac{g}{\hbar}\int dx\ \phi(x)^4\right)^N$$ и используя теорему Иссерлиса-Вика. Сокращения включают ковариацию или обратный оператор в свободной квадратичной части $$C=\left(\frac{1}{\hbar}A\right)^{-1}=\hbar \times A^{-1}\ .$$ Поэтому, когда вы считаете силы $\hbar$Вы получаете $\hbar^{E-V}$где $E$это количество ребер и $V$количество внутренних вершин. Для связного графа (в случае вакуумной диаграммы для простоты) имеет место соотношение типа Эйлера-Пуанкаре $$E-V=L-1$$ где $L$- количество независимых циклов. Таким образом, сила $\hbar$который появляется $\hbar^{L-1}$который, следовательно, считает петли. Самый низкий порядок, когда $L=0$и $E=V-1$, т. е. когда граф является деревом.

В принципе, в QFT вы хотите вычислить оператор эволюции унитарного времени изображения взаимодействия. Затем вы можете использовать оператор для эволюции квантовых состояний, как в обычной квантовой механике. Так, например, предположим, что вы настроили ускоритель частиц для создания определенного состояния.$|i\rangle$вовремя$t_0$, а затем через некоторое время$t_1 - t_0$прошло, вы хотите знать вероятность того, что оно перешло в состояние$|f\rangle$, вы вычисляете амплитуду вероятности:

$$\langle f|U(t_1,t_0)|i \rangle$$

Выражение для$U(t_1,t_0)$определяется формулой Дайсона:

$$U(t_1,t_0) = \mathcal{T}\left\{\exp\left(-i\int_{t_0}^{t_1}H_{\mathrm{int}}(t) \mathrm{d}t\right)\right\}$$

где$\mathcal{T}$обозначает временной порядок, а экспоненциальное расширение задается рядом Дайсона,$n$й член которого имеет вид:

$$U_{n}(t_1,t_0) = (-i)^{n}\int_{t_0}^{t_1}dt\int_{t_0}^{t}dt'\int_{t_0}^{t'}dt'' \cdots\int_{t_0}^{t^{(n-1)}}dt^{(n)}\mathcal{T}\left\{H_{\mathrm{int}}(t)H_{\mathrm{int}}(t') \cdots H_{\mathrm{int}}(t^{(n)})\right\}$$

Обычно гамильтониан имеет константу связи в начале, и поэтому ряд Дайсона становится разложением по степеням этой константы связи (мощность которой равна количеству вершин в соответствующей диаграмме Фейнмана). Я действительно не знаю, что он имеет в виду под силой$\hbar$.

Обычно вышеуказанный интеграл невозможно вычислить независимо, как в обычном QM, но мы можем использовать немного магии, называемую формулой сокращения LSZ, чтобы записать амплитуду вероятности, например:

$$\langle f|U(-\infty,\infty)|i \rangle \sim \langle 0|\mathcal{T}\left\{\phi(x)\cdots\phi(x^{(b)})\phi(y)\cdots\phi(y^{(b')})\ U(-\infty,\infty)\right\}|0 \rangle$$

где$|0\rangle$- вакуумное состояние свободной теории,$\phi$являются полями, и у вас есть по одному для каждой частицы в начальном состоянии (отмечено$x$) и по одному для каждого в конечном состоянии (помечены$y$). Я не упомянул некоторые интегралы и константы, до которых вы доберетесь в конце концов, но они не важны для этого общего обзора. Обратите внимание, что это справедливо только в$\pm\infty$предел времени, который называется «адиабатическим пределом».

Если у вас есть это, вы можете заменить в своем$n$срок заказа на$U$и получить$n$аппроксимация порядка для вашей амплитуды вероятности. Помните, что$H_{\mathrm{int}}$обычно являются продуктами самих полей, поэтому подстановка просто дает больший продукт полей, упорядоченных по времени (я пометил поля из условий взаимодействия с$z$):

$$\langle 0|\mathcal{T}\left\{\phi(x)\cdots\phi(x^{(b)})\phi(y)\cdots\phi(y^{(b')})\phi(z)\cdots\phi(z^{(b'')})\right\}|0 \rangle$$

Затем вы используете немного технической математики, называемой теоремой Вика, чтобы показать, что эта вещь сводится к произведению двухточечных функций Грина (также известных как пропагаторы):

$$\langle 0|\mathcal{T}\left\{\phi\phi\right\}|0 \rangle\langle 0|\mathcal{T}\left\{\phi\phi\right\}|0 \rangle\langle 0|\mathcal{T}\left\{\phi\phi\right\}|0 \rangle\cdots$$

Теперь, очевидно, есть более чем один способ спаривания$b+b'+b''$поля, которые у вас есть, в функции Грина, поэтому у вас есть несколько диаграмм Фейнмана для каждого порядка в константе связи. Каждая из этих функций Грина в произведении соответствует линии на диаграмме Фейнмана, и каждый способ спаривания полей соответствует другой диаграмме (вплоть до факторов симметрии и т. д.). Циклы — это когда вы получаете функции Грина, в которых оба поля находятся в одной и той же точке пространства-времени:

$$\langle 0|\mathcal{T}\left\{\phi(z)\phi(z)\right\}|0 \rangle$$

потому что, очевидно, вы получаете линию от точки к самой себе — петля. Это приводит к неограниченному импульсу, потому что типичная функция Грина имеет вид:

$$\langle 0|\mathcal{T}\left\{\phi(x)\phi(y)\right\}|0 \rangle = \int \mathrm{d}^{3}p\ \frac{i}{p^2 - m^2}e^{-ip(x-y)}$$

Затем экспонента сводится к дельта-функции, когда вы интегрируете по положению, что позволяет вам легко интегрировать по импульсу, чтобы по существу выбрать нужный вам импульс (это происходит из одного из интегралов, которые я пропустил ранее). Но если$x=y$тогда экспонента уменьшается до 1, что означает, что ваш импульс не ограничен, и, как правило, это также оставляет расходящийся интеграл. Это корень ультрафиолетовых расходимостей в КТП, и мы используем регуляризацию, чтобы перенормировать определенные константы (например, массу) и превратить бесконечности в неизмеримые величины.

Редактировать: я заметил, что вы говорите, что читаете P&S так же, как и Шварца. Я совсем не знаком с книгой Шварца, но в P&S они выводят формулу LSZ-редукции для скалярных полей в главе 7. Ее весьма поучительно просмотреть, потому что она дает вам гораздо лучшее представление о форме правил Фейнмана.

Несмотря на то$\hbar$является фундаментальной физической константой (и вы можете установить ее в 1, если хотите), все же имеет смысл говорить о квантовой механике в пределе$\hbar \to 0$. Физически это означает, что типичный масштаб системы намного больше, чем длина волны де Бройля всех частиц, поэтому в итоге вы получаете классическую механику с некоторыми дополнительными поправками, которую мы называем полуклассической. Учитывая$\hbar$переменная, отправка$\hbar \to 0$, а расширение — это просто удобный математический способ говорить об этом пределе.

Однако, как указывали другие, разложения диаграммы Фейнмана на самом деле выполняются с учетом параметра связи, фактора, который умножает член взаимодействия в гамильтониане. Расширение в$\hbar$отличается и фактически является ВКБ-приближением. Вы должны быть осторожны, интерпретируя это предложение из книги Шварца. Несмотря на то, что разложения различны, в случае, когда связь стремится к нулю, мы имеем свободную теорию, в которой приближение ВКБ является точным.

Из-за этого именно член связи вносит ошибки в WKB, поэтому вы также можете рассматривать расчет с использованием диаграмм Фейнмана в заданном порядке как квазиклассическую коррекцию.

Физически диаграммы древовидного уровня представляют собой аппроксимации, не учитывающие самовоздействие. Например, если у вас есть электрическое поле, действующее на электрон, отбрасывание самодействия будет означать запись силы Лоренца и вычисление ее траектории с использованием уравнения движения. Это приближение, потому что электрон также имеет электрическое поле и чувствует его влияние, когда движется. Петлевые интегралы - это способ выразить эти эффекты самодействия в пертурбативной КТП.