Почему период времени маятника с пружиной постоянной силы kkk и грузом значительной массы mmm на Луне такой же, как и на Земле?

Обратите внимание, что масса$m$и жесткость пружины$k$на Земле они такие же, как и на Луне. Следовательно, период времени пружины не зависит от разницы, вызванной ускорением силы тяжести. Следовательно, он не изменится, когда его доставят на Луну.

Я думаю, что значение 𝑘 для пружины, подвешенной вверх ногами, зависит от гравитационного притяжения.

Нет. Это константа. Приведенный вами математический аргумент содержит много ошибок, но достаточно сказать, что период нагруженной пружины не будет отличаться.

Единственное, что будет отличаться, это положение равновесия массы, и в этом случае она будет выше на Луне.

Чтобы проиллюстрировать независимость значения гравитационного поля, можно установить систему пружинных масс на горизонтальном столе, и при отсутствии трения период колебаний все равно будет$2\pi \sqrt{\frac mk}$при условии, что пружина может подвергаться как сжатию, так и растяжению.

Причина такой независимости в том, что восстанавливающая сила,$F$, зависит от смещения массы из положения равновесия, на нее не действует результирующая сила, которая не является функцией гравитационного поля и массы$m$, также не зависит от гравитационного поля, поэтому ускорение массы$a=\frac Fm$не зависит от гравитационного поля.

The $l$и$g$соотношение, которое, по-видимому, показывает зависимость периода от напряженности гравитационного поля, не показывает этого, потому что$l$и$g$не независимы друг от друга, будучи любимыми уравнением$kl=mg$, так$g$увеличивается так же$l$в той же пропорции.

... имеем, что возвращающая сила в пружине линейно зависит от смещения.

$$F(x) = -k(x) \\ k = \frac{-F(x)}{x}$$

Этот расчет силы неверен.

На самом деле сила ($F$) состоит из двух частей:

• Возвращающая сила пружины ($-kx$), который пропорционален текущему смещению ($x$). И пружинная постоянная$k$по-прежнему остается константой.
• Сила гравитации ($mg$), который не зависит от текущего смещения ($x$)

Итак, у нас есть общая сила

$$F=-kx+mg. \tag{1}$$

По второму закону Ньютона ($m\ddot{x}=F$) получаем уравнение движения

$$m\ddot{x}=-kx+mg. \tag{2}$$

Наиболее общее решение (2) может быть найдено как

$$x(t)=\frac{mg}{k}+A\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\ t+\phi\right) \tag{3}$$ где$A$(амплитуда) и$\phi$(начальная фаза) — произвольные константы. Вы можете проверить правильность этого решения, подставив его в дифференциальное уравнение (2).

Из решения (3) вы видите две особенности.

• Период колебаний$T$можно определить из$\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{k}{m}}$. Таким образом$T$не зависит от$g$.
• Равновесное перемещение равно$\frac{mg}{k}$. Таким образом, это зависит от$g$. На Луне он меньше, чем на Земле.