Почему преобразование Галилея так записано в квантовой механике?

Заметим, что прежде всего при преобразовании Галилея из$S$к$S'$, частица с постоянным импульсом будет иметь свою энергию, различную в$S'$чем$S$потому что кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости. Мы знаем, что волновые функции (в не зависящем от времени потенциале) колеблются подобно

$$e^{-i\dfrac E\hbar t}$$ так что мы должны принять это во внимание, когда мы смотрим в наши разные кадры.

Применим эти результаты. Мы обнаружим, что объяснение этого изменения импульса дает термин, который сбивает вас с толку, а изменение энергии дает термин, который, как вы подозреваете, будет ответом.

Рассмотрим частицу в$S$с импульсом$\vec p$и масса$m$. Его волновая функция$\psi$затем

$$\psi = e^{i\left(\dfrac{\vec p \cdot \vec x}{\hbar} - \dfrac{p^2}{2m\hbar}t\right)}$$

В$S'$, со скоростью$\vec v_0$, его импульс идет к$\vec p' = \vec p - m \vec v_0$, а также изменения энергии.$E' = \frac{(p')^2}{2m}$, так что мы находим, что

$$E' = E - \vec p \cdot \vec v_0 + \frac 12 m v_0^2$$

Поскольку волновая функция должна иметь такой же вид, как и в$S'$,

$$\psi' = e^{i\left(\dfrac{\vec p' \cdot \vec x}{\hbar} - \dfrac{E'}{\hbar}t\right)}$$

Подстановка этих новых значений энергии и импульса дает следующую форму:

$$\psi' = e^{i\left(\dfrac{\vec p \cdot \vec x}{\hbar} - \dfrac{m\vec v_0\cdot \vec x}{\hbar}-\dfrac{Et}{\hbar} + \dfrac{\vec p \cdot \vec v_0}{\hbar}\right)} e^{-i\dfrac {m v_0^2t}{2\hbar} }$$

мы опускаем самый последний член, потому что он инвариантен по отношению к импульсу. Это просто глобальная общая фаза (если есть один и только один тип массы). Перестановка приводит нас к выводу, что

$$\psi' = e^{i\dfrac{\vec p \cdot \vec v_0 t}{\hbar}}e^{-i \dfrac{m\vec v_0\cdot \vec x}{\hbar}}\psi$$

Это именно то преобразование, которое вы называете преобразованием Галилея. Замена$\vec p$с оператором дает,

$$\psi' = \hat G \psi$$

где$\hat G = e^{i\dfrac{\vec p \cdot \vec v_0 t}{\hbar}}e^{-i \dfrac{m\vec v_0\cdot \vec x}{\hbar}}$Поскольку импульсные состояния являются полным базисом, это верно для любой суперпозиции импульсных состояний. Так что в целом верно, и мы вывели$\hat G$. Это происходит из-за изменения энергии и импульса в разных системах отсчета.

Это просто проверить, что уравнение OP. (2) действительно порождает преобразования Галилея. Скорее кажется, что ОП спрашивает

Как вывести формулу (2) из ​​первых принципов?

Эскизный вывод формулы (2):

1. Рассмотрим сначала классическую теорию. Гамильтонов лагранжиан для свободной нерелятивистской частицы равен

   $$\begin{align} L_H~=~&\sum_{k=1}^3p_k\dot{x}^k-H, \cr H~:=~ & \frac{1}{2m}\sum_{k=1}^3p_k p_k.\end{align}\tag{A}$$

2. Покажите, что бесконечно малое преобразование Галилея

   $$\begin{align}\delta x^k~=~&t ~\delta v^k, \cr \delta p^k~=~&m ~\delta v^k, \cr \delta t~=~&0,\end{align}\tag{B}$$ является квазисимметрией $$\delta L_H ~=~\frac{d}{dt}\sum_{k=1}^3m x_k~\delta v^k \tag{C}$$ для гамильтонова лагранжиана (A). [Что касается квазисимметрии, читателю также может быть интересно прочитать соответствующий пост Phys.SE.]

3. Используйте теорему Нётер, чтобы найти соответствующий полный заряд Нётер .

   $$Q_k~=~ tp_k - m x_k.\tag{D}$$ [Первый срок$tp_k$есть голый заряд Нётер, а второй член$m x_k$происходит от прав. экв. (С).]

4. В качестве проверки отметим, что заряд Нётер (D) порождает бесконечно малое преобразование Галилея (B),

   $$\delta ~=~\sum_{k=1}^3 \{~\cdot~ , Q_k\} ~\delta v^k ,\tag{E}$$ как следует, см. мой ответ Phys.SE здесь .

5. Используйте принцип соответствия между классической и квантовой физикой, чтобы сделать вывод, что

   $$\delta ~=~ \sum_{k=1}^3\frac{1}{i\hbar}[~\cdot~ , \hat{Q}_k] ~\delta v^k, \tag{F}$$ где $$\hat{Q}_k~=~ t\hat{p}_k - m \hat{x}_k.\tag{G}$$ — нётеровский оператор заряда.

6. Используйте стандартные аргументы, чтобы интегрировать бесконечно малое преобразование Галилея (F) в конечное преобразование Галилея, чтобы получить искомую формулу OP (2).$\Box$