Бопповские операторы и представление Вигнера-Вейля

Я изучаю преобразования Вигнера-Вейля для перемещения с -число оператора Линдблада А ( Икс , п ) обратно в операторную форму. Насколько мне известно, для перемещения вперед и назад обычно требуется интегральное преобразование с четырьмя переменными. Однако коллега указал, что существует более простой метод преобразования оператора в c-число, так называемые операторы Боппа:

Икс ^ "=" Икс + я ℏ 2 ∂ ∂ п , п ^ "=" п − я ℏ 2 ∂ ∂ Икс .

Использование этой подстановки является быстрым методом для символа Вейля (например, с помощью Икс ^ п ^ прямая замена приводит к правильной форме WW).

У меня есть два вопроса:

  • Если я захочу перейти от фазового пространства к операторной форме, будет ли это так же просто, как заменить Икс "=" Икс ^ − я ℏ 2 ∂ ∂ п ?

  • Приведенный пример записывается как Икс ^ п ^ 1 ^ , поэтому производные действуют на тождественный оператор и дают 0 . Однако в функции c-числа А ( Икс , п ) нет единичного оператора. Когда производная действует влево, на что она действует?

Ответы (1)

Действительно, сдвиг Боппа — это неуклюжая операторная транскрипция Лагранжа знаменитой транскрипции. ⋆ произведение, интегральное преобразование с 4 переменными, ср. уравнения (12-15) в работе. 1 (14-17 в связанной онлайн-версии).

Существует бесконечное множество функций фазового пространства, соответствующих операторам разного порядка, поскольку их p s и x s могут быть упорядочены по-разному с вставкой. ⋆ s обеспечение некоммутативности; или, что то же самое, их бопповские сдвиги, действующие в разной последовательности. Таким образом, все они совпадают в исчезающем порядке в ℏ , но отличаются своей ℏ-зависимостью.

Тождественные операторы в гильбертовом пространстве отображаются в константы в фазовом пространстве и наоборот.

Когда у вас есть длинные (длиннее двух!) строки операторов, вставить (ассоциативный!) ⋆ -произведения между символами Вейля, но если вы не будете очень осторожны с ассоциативными группировками, трюк Боппа не сработает и не стоит того.

Преобразование Вигнера записанного вами оператора x̂ p̂ 1̂ , следовательно, напрямую равно xp+iħ/2 . Формальная причина -

Икс ^ п ^ ↦ Икс ⋆ п ⋆ 1 "=" ( Икс + я ℏ 2 ∂ п ) п "=" Икс п + я ℏ 2 .
Обратите внимание, что производный член p не используется, поэтому только ведущий, общепринятый член 1 выживает как вклад в тождество.

Использованная литература:

  1. Томас Л. Куртрайт, Дэвид Б. Фэрли и Космас К. Захос, Краткий трактат о квантовой механике в фазовом пространстве, World Scientific, 2014. Файл PDF доступен здесь .
Бопповские операторы и представление Вигнера-Вейля
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v