Почему некоммутативность в квантовой механике требует от нас использования гильбертовых пространств?

Я понимаю определение гильбертова пространства. Но я не понимаю, почему некоммутативность заставляет нас пользоваться гильбертовыми пространствами.

Это не так, но Скринци говорит не об этом.

Причина не в том, что мы могли бы работать, например, в квазивероятностном представлении Вигнера:

Обратите внимание, что$W(x,p)$— реальная функция, аналогичная совместному распределению вероятностей в фазовом пространстве, за исключением того, что она может быть отрицательной. Принцип неопределенности требует от нас отказаться от чего-то, но на самом деле он не навязывает нам гильбертовых пространств.

Однако Скринци говорит о двух вещах: (а) гильбертовы пространства очень удобны для нас в квантовой механике, и (б) гильбертовы пространства можно использовать в классической механике, но поскольку в классической механике не существует некоммутативности, там это «излишество», тогда как в квантовой механике это «нужное количество убийств». Оба утверждения верны.

Причина, по которой мы могли использовать гильбертовы пространства в классической механике, заключается в том, что они могут представлять очень общие алгебры наблюдаемых, в то время как классическая алгебра наблюдаемых, будучи коммутативной, на самом деле проще. (ср. с теоремой Гельфанда–Наймарка для$C^*$-алгебры в частности.)

Формулировка классической механики в гильбертовом пространстве была сделана Купманом и фон Нейманом в 1931-1932 гг. Но на самом деле их формулировка обобщает классическую механику , если только не накладывается искусственное ограничение, согласно которому вам разрешено измерять наблюдаемые только в некотором взаимно коммутативном множестве; только тогда классическая (в смысле XIX века) механика восстанавливается точно.

Именно это искусственное ограничение снимает квантовая механика. Физически некоммутативность наблюдаемых соответствует принципу неопределенности между ними.

Общий и краткий обзор математической основы квантовой механики см . в этом ответе. В двух словах, гильбертовы пространства возникают из теории представлений C*-алгебр, которые постулируются как релевантные математические объекты, описывающие квантовую теорию (поскольку она содержит наблюдаемые в своей самосопряженной части и состояния как специальные элементы из своей). топологическая двойственность).

Чтобы еще больше мотивировать некоммутативность, рассмотрим следующие факты. Во-первых, любая коммутативная (унитальная) C*-алгебра по теореме Гельфанда и Наймарка изоморфна$C(X)$, т. е. C*-алгебра непрерывных функций над компактным хаусдорфовым пространством$X$, с единой нормой. Тогда такое топологическое пространство можно интерпретировать как обычное фазовое пространство классической гамильтоновой механики.

Более глубокая мотивация проистекает из принципа неопределенности Гейзенберга. Известно, что если у вас есть две несовместимые наблюдаемые (т. е. измерения, которые взаимно влияют на свои результаты), то их нельзя измерить одновременно с произвольной точностью, и способ воспроизвести это состоит в том, чтобы постулировать, что такие наблюдаемые, скажем,$A$а также$B$, удовлетворяют соотношению

Другим чисто квантовым явлением является интерференция, как в эксперименте с двумя щелями, и этого никогда не происходит, если C*-алгебра наблюдаемых коммутативна. Следовательно, должен существовать сектор суперотбора, по крайней мере двумерный, а значит, и неприводимое представление С*-алгебры квантово-механической системы, не являющееся одномерным. Ведь если это не так, то можно взять прямую сумму всех представлений ОНС из чистых состояний, которые неприводимы и, следовательно, по условию одномерны. Образ такого представления точен и явно коммутативен, а это заставляет быть коммутативной и саму С*-алгебру (напомним, что С*-алгебра коммутативна тогда и только тогда, когда все ее неприводимые представления одномерны). Таким образом, соответствующее гильбертово пространство для классической механики — это просто$\mathbb C$, а для квантовой механики нужно по крайней мере$\mathbb C^2$и неприводимая замкнутая подалгебра$2\times2$матрицы$M_2(\mathbb C)$.

Одной из причин может быть то, что если позиция ($x$) и импульс ($p$) были операторами в конечномерном пространстве их коммутатором$[x,p]$всегда будет иметь нулевой след. Итак, чтобы иметь соотношение Гейзенберга, нам нужны (неограниченные) операторы в бесконечномерном пространстве. :)