Почему импульс не является функцией положения в квантовой механике?

Question

Почему импульс не является функцией положения в квантовой механике?

Кешав Шринивасан

В квантовой механике унитарный оператор перевода времени $\hat{U}(t_1,t_2)$ определяется $\hat{U}(t_1,t_2)|ψ(t_1)\rangle = |ψ(t_2)\rangle$ , а оператор Гамильтона $\hat{H}(t)$ определяется как предел $i\hbar\frac{\hat{U}(t,t+\Delta t)-1}{\Delta t}$ так как $\Delta t$ идет к $0$ . Точно так же одномерный оператор пространственного переноса определяется выражением $\hat{T}(x_1,x_2)|x_1\rangle = |x_2\rangle$ и оператор импульса $\hat{p}$ определяется как предел $i\hbar\frac{\hat{T}(x,x+\Delta x)-1}{\Delta x}$ так как $\Delta x$ идет к $0$ . Мой вопрос в том, почему оператор Гамильтона может быть функцией параметра времени $t$ , но оператор импульса не может быть функцией параметра положения $x$ ?

Единственный хороший ответ, который я получил на этот вопрос, заключается в том, что время не является оператором в нерелятивистской квантовой механике, тогда как положение является оператором, поэтому импульс, являющийся функцией положения, испортит соотношение коммутации положение-импульс. Но это объяснение не имеет для меня смысла, потому что рассмотрим случай импульса вращения. Если $\hat{R}_z(\theta_1,\theta_2)$ обозначает оператор вращения для собственных вращений вокруг оси z (в отличие от орбитальных вращений), тогда оператор углового момента вращения $\hat{J}_z$ (в отличие от Бейонсе) определяется как предел $i\hbar\frac{\hat{R}_z(\theta,\theta+\Delta\theta)-1}{\Delta\theta}$ так как $\Delta\theta$ идет к $0$ . И все еще $\hat{J}_z$ не является функцией угла $\theta$ , хотя в квантовой механике нет оператора, соответствующего $\theta$ . (Есть еще один оператор, называемый $\hat{\theta}$ , который является одним из операторов положения в сферических координатах, но не имеет ничего общего со спином и $\theta$ о чем я говорю; это связано с орбитальным угловым моментом.) Таким образом, «параметр имеет соответствующий оператор» не кажется правильным объяснением, поскольку оно не объясняет, почему спиновый угловой момент не может быть функцией угла.

Обратите внимание, что я не ищу специального объяснения вроде «это не имело бы физического смысла с точки зрения классической работы энергии и импульса». Мне нужно объяснение первых принципов квантовой механики.

СлучайныйПреобразование Фурье

Этот вопрос содержит много заблуждений. Оператор перевода определяется как

T (a) | x ⟩ = | x + a ⟩

$T(a)|x\rangle=|x+a\rangle$ , куда

a \in R

$a\in\mathbb R$ . Оператор импульса определяется как

T^{'} (0)

$T'(0)$ , поэтому он явно не зависит от

x

$x$ : даже не до принятия

a \to 0

$a\to 0$ сделал

T

$T$ зависит от

x

$x$ . Позиция — это не параметр, это собственное значение оператора (и поэтому нет смысла утверждать, что второй оператор может зависеть или не зависеть от него). Импульс также не зависит от положения в классической механике, поэтому неясно, почему он должен быть в КМ.

СлучайныйПреобразование Фурье

Точно так же оператор вращения определяется как

\hat{R} (\vec{α}) | \vec{x} ⟩ = | R (\vec{α}) \vec{x} ⟩

$\hat R(\vec\alpha)|\vec x\rangle=|\mathcal R(\vec \alpha)\vec x\rangle$ , куда

R (\vec{α})

$\mathcal R(\vec\alpha)$ обозначает матрицу вращения вокруг

\hat{α}

$\hat\alpha$ с углом

| \vec{α} |

$|\vec \alpha|$ . Оператор углового момента определяется как

\nabla \hat{R} (0)

$\nabla\hat R(0)$ , поэтому он явно не зависит от

θ

$\theta$ : даже не до принятия

\vec{α} \to 0

$\vec\alpha\to0$ это зависело от

θ

$\theta$ . Кроме того, есть оператор , который можно идентифицировать с помощью

\hat{θ}

$\hat\theta$ , и пара

{\hat{J}}_{i}, {\hat{θ}}_{j}

$\hat J_i,\hat \theta_j$ ведет себя очень похоже на

{\hat{p}}_{i}, {\hat{x}}_{j}

$\hat p_i,\hat x_j$ (хотя картина более тонкая).

Кешав Шринивасан

@AccidentalFourierTransform Но вопрос в том, почему оператор пространственного транслятора не зависит от

x

$x$ , тогда как оператор перевода времени может зависеть от

t

$t$ ? И ответ не может заключаться в том, что это потому, что положение является оператором в нерелятивистской квантовой механике, а время — нет, потому что это не объясняет, почему внутренний оператор вращения не зависит от

θ

$\theta$ , учитывая, что

θ

$\theta$ тоже не оператор.

Ответы (7)

Почему импульс не является функцией положения в квантовой механике?

Этот вопрос содержит много заблуждений. Оператор перевода определяется как $T(a)|x\rangle=|x+a\rangle$ , куда $a\in\mathbb R$ . Оператор импульса определяется как $T'(0)$ , поэтому он явно не зависит от $x$ : даже не до принятия $a\to 0$ сделал $T$ зависит от $x$ . Позиция — это не параметр, это собственное значение оператора (и поэтому нет смысла утверждать, что второй оператор может зависеть или не зависеть от него). Импульс также не зависит от положения в классической механике, поэтому неясно, почему он должен быть в КМ.
Точно так же оператор вращения определяется как $\hat R(\vec\alpha)|\vec x\rangle=|\mathcal R(\vec \alpha)\vec x\rangle$ , куда $\mathcal R(\vec\alpha)$ обозначает матрицу вращения вокруг $\hat\alpha$ с углом $|\vec \alpha|$ . Оператор углового момента определяется как $\nabla\hat R(0)$ , поэтому он явно не зависит от $\theta$ : даже не до принятия $\vec\alpha\to0$ это зависело от $\theta$ . Кроме того, есть оператор , который можно идентифицировать с помощью $\hat\theta$ , и пара $\hat J_i,\hat \theta_j$ ведет себя очень похоже на $\hat p_i,\hat x_j$ (хотя картина более тонкая).
@AccidentalFourierTransform Но вопрос в том, почему оператор пространственного транслятора не зависит от $x$ , тогда как оператор перевода времени может зависеть от $t$ ? И ответ не может заключаться в том, что это потому, что положение является оператором в нерелятивистской квантовой механике, а время — нет, потому что это не объясняет, почему внутренний оператор вращения не зависит от $\theta$ , учитывая, что $\theta$ тоже не оператор.

тпаркер · Answer 1

Я думаю, что ответ сводится к причинно-следственной связи. Типичная проблема, которую мы решаем в нерелятивистской квантовой механике, такова: «При заданном начальном условии $\psi(\vec{x}, t = 0)$ , что такое волновая функция $\psi(\vec{x}, T)$ позже $T$ ?» Тот факт, что гамильтониан $H$ генерация перевода/эволюции времени может явно зависеть от времени, что соответствует тому факту, что мы, экспериментаторы, свободны управлять системой извне любым способом, который мы хотим, и внешний привод не может быть «предсказан» эндогенно внутри системы. Другими словами, причинные воздействия внешнего импульса распространяются вперед во времени, чтобы воздействовать на будущую волновую функцию.

Но если оператор импульса $P$ которое порождает переводы, допускали нетривиальную зависимость от пространства, то по аналогии с уравнением Шредингера (и упрощая до одного пространственного измерения) мы могли бы поставить задачу с "начальным условием" $\psi(x = 0, t)$ и рассмотрим проблему «пространственной эволюции» волновой функции в $x$ по дифференциальному уравнению $-i\, \partial \psi / \partial x = P(x)\, \psi(x)$ . Если бы экспериментатор был свободен во внешнем изменении $P(x)$ , то влияние этого изменения должно было бы распространяться в пространственноподобном направлении, чтобы воздействовать на волновую функцию одновременно. $t$ но больше $x$ , нарушая причинно-следственную связь.

Следовательно, тот факт, что $P$ оператор должен быть "независимым от пространства", в то время как $H$ оператор может явно зависеть от времени, является нерелятивистским отражением того факта, что полная квантовая теория является релятивистской, а причинные влияния могут распространяться только во времениподобных направлениях. В полностью нерелятивистской Вселенной оператор импульса $P$ вероятно, логически могут явно зависеть от положения — точно так же, как бозоны и фермионы логически могут иметь любые спины, но в реальном мире они «наследуют» соотношение спин-статистика из лежащей в основе релятивистской теории.

Какой красивый ответ!!!! Я буквально остановился в благоговении, когда читал «Но если оператору импульса P, который генерирует переводы, позволить нетривиально зависеть от пространства........»
Но тогда почему оператор углового момента вращения не может $\hat{J}_z$ зависит от угла $\theta$ , параметр оператора собственного вращения $\hat{R}_{z}(\theta)$ ?
@KeshavSrinivasan Опять же, это логически и математически возможно, но такая зависимость явно нарушила бы симметрии, которые, как предполагается, сохраняются для полной релятивистской теории. Просто как явное $t$ зависимость в гамильтониане нарушает трансляционную симметрию во времени, явный $\theta$ зависимость от $J$ оператор нарушил бы вращательную инвариантность пространства - было бы «особое направление», и физика могла бы, скажем, вести себя по-разному для систем, обращенных в этом направлении, по сравнению с системами, обращенными перпендикулярно этому направлению. Это вполне логически возможно, хотя и неэлегантно,...
в совершенно нерелятивистской Вселенной и не может быть исключено из первых принципов. Но поскольку в специальной теории относительности смешиваются вращения и ускорения, такая зависимость полностью разрушила бы всю симметрию Пуанкаре релятивистской теории. Если бы гамильтониан описывал подсистему, находящуюся под контролем экспериментатора, можно было бы даже организовать моделирование нетривиальной $\theta$ зависимость, скажем, вручную добавляя энергию в систему каждый раз, когда она поворачивается на север или что-то в этом роде. Но технически сложно и неестественно построить «фундаментальную» релятивистскую теорию, которая не...
... Инвариант Лоренца, и поэтому на практике многие нерелятивистские теории наследуют многие симметрии от полной базовой Стандартной модели. Опять же, рассмотрим аналогию со спинами — из постулатов нерелятивистской КМ невозможно вывести , что спин-0 = бозон, а спин-1 = фермион — можно было бы легко определить гильбертово пространство, где верно обратное. Но в реальном мире это бесполезно из-за лежащей в основе релятивистской теории.
Нерелятивистская квантовая механика — чрезвычайно широкая и гибкая теория, и очень мало того, чем мы можем управлять исключительно из первых принципов! На практике, чтобы добиться какого-либо прогресса, нам обычно нужно просто предположить некоторые основные результаты, мотивированные экспериментом или какой-то более конкретной теорией.
Но бывают ситуации, когда гамильтониан частицы зависит от времени, но это не означает, что трансляционная симметрия Вселенной в целом нарушается. Таким образом, нет причин, по которым угловой момент частицы, зависящий от угла, нарушил бы пространственную изотропию Вселенной.
@KeshavSrinivasan В реальном мире, где все фундаментальные взаимодействия в Стандартной модели не зависят от времени, любая система, описываемая зависящим от времени гамильтонианом, должна быть связана с некоторой «средой» вне самой системы, которая порождает зависимость от времени и которая не описывается гамильтонианом (иначе он был бы частью системы). Точно так же я согласен с тем, что конкретная частица в конкретной ситуации может быть описана гамильтонианом, нарушающим вращательную инвариантность, но только в том случае, если частица связана с чем-то внешним, что не описывается...
... Гамильтониан. Окружающая среда — это то, что нарушает симметрию, лежащую в основе Стандартной модели. Но такой гамильтониан не будет считаться тем, что я называю «фундаментальной теорией». «Фундаментальная теория» должна охватывать все , включая любые возможные внешние среды, экспериментаторов и т. д.! Такая теория должна обладать полной инвариантностью Пуанкаре. Так что да, я согласен, система, связанная с некоторой средой, может иметь явные $\theta$ зависимости, если среда нарушает вращательную симметрию - как в примере, который я привел выше.
Хорошо, но я не спрашиваю о ситуации, когда оператор Гамильтона частицы зависит от угла, я говорю о ситуации, когда оператор спинового углового момента зависит от угла.
Точный оператор спинового углового момента получен в релятивистской КТП из теории представлений группы Лоренца и, следовательно, наследует угловую симметрию этой группы. Но во многих ситуациях с конденсированными средами вы можете определить эффективный оператор углового момента вращения, который действительно зависит от угла. Это называется расщеплением кристаллического поля .
Очень ясно и красноречиво; это должен быть принятый ответ. @KeshavSrinivasan, я думаю, что ответ на ваше возражение следующий. Если бы единственным гамильтонианом, который все изучали, был бы гамильтониан, в котором вся Вселенная берется в качестве изучаемой системы, то (1) этот гамильтониан был бы независимым от времени, и (2) временной перенос работал бы так же, как пространственный перенос, так что ваш вопрос отпал бы. Но поскольку нам нравится изучать системы, которые меньше целой вселенной, где экспериментатор может управлять окружающей средой, то мы относимся ко времени по-другому.

Любопытный Разум · Answer 2

Ваше представление о том, что определяется с точки зрения того, что немного вводит в заблуждение. Обычно физик берет бесконечно малые генераторы $H,p,x$ как заданные самосопряженные операторы и определяет конечные преобразования как $U(t) = \exp(-\mathrm{i}tH),T(\xi) = \exp(\mathrm{i}\xi p),S(\pi) = \exp(\mathrm{i}\pi x)$ следуя теореме Стоуна . Если $H$ зависит от времени, то $U(t)$ превращается в серию Dyson для $U(t,t_0)$ на картинке взаимодействия.

Что касается определения самого оператора импульса: он просто определяется как оператор с $[x,p] = \mathrm{i}\hbar$ . По теореме Стоуна-фон Неймана все возможные способы реализации операторов с этим коммутационным соотношением по существу такие же, как и на $L^2(\mathbb{R})$ , куда $x$ умножение на переменную и $p$ является дифференциация. Коммутационные соотношения также кодируют, что преобразование $T(\xi)$ действует как перевод на позицию и что $S(\pi)$ действует как перевод импульса, см. также этот мой ответ . Но самое главное, $p$ по определению один фиксированный оператор . Просто нельзя ни от чего зависеть.

Наконец, ваша путаница, похоже, в основном возникает из-за того, что вы записываете все эти преобразования с двумя параметрами, т.е. $U(t_0,t_1),T(x_1,x_2)$ . Таким образом, только временная эволюция может зависеть от двух параметров и только в случае зависящего от времени гамильтониана. Все остальные преобразования являются однопараметрическими группами , как и в теореме Стоуна, порожденными одним самосопряженным оператором. Это не показано, а предполагается . Предположим , что оператор вращения $R(\theta_1,\theta_2)$ действительно заботится только о разнице между двумя углами, то есть это действительно просто функция $R(\theta_1 - \theta_2)$ и мы предполагаем , что перевод $T(x_1,x_2)$ действительно просто $T(x_1-x_2)$ . Вы можете предположить по-другому, но это не то, что мы делаем в стандартной квантовой механике.

Мы предполагаем, что для всех этих преобразований, потому что мы хотим $T(x_1,x_2)$ на самом деле быть (унитарным) представлением группы перевода $\mathbb{R}$ , и $R(\theta_1,\theta_2)$ быть представлением группы вращения $\mathrm{SO}(3)$ . И эти группы не содержат преобразований «повернуть от угла $\theta_1$ к $\theta_2$ ", но "повернуть на угол $\theta$ ", поэтому оператор также будет зависеть только от разницы, а не от начальной/конечной точки преобразования.

В случае с эволюцией времени дело обстоит иначе: хотя можно сказать, что существует «группа преобразования времени», на самом деле нам нужен оператор, кодирующий эволюцию динамической системы. А в динамической системе легко представить, что в какой-то момент времени $t_0$ что-то «включается/выключается», что изменяет динамику системы после этого момента, так что $U(t_1,t_2)$ различается в зависимости от того, оба $t_1,t_2$ до или после $t_0$ .

Я не согласен. Совершенно стандартно считать унитарные операторы примитивными и определять инфинитезимальные генераторы в их терминах. Это то, что делают бесчисленные учебники, в том числе Таунсенд и (если я правильно помню) Сакураи. И тогда коммутационное соотношение выводится, а не предполагается. Точно так же серия Dyson также является производной, а не предполагаемой. Именно в контексте этого подхода я задаю свой вопрос.
@KeshavSrinivasan Тогда мой последний абзац все еще актуален: что оператор перевода $T(x_1,x_2)$ фактически зависит только от $x_1-x_2$ и, следовательно, является однопараметрической подгруппой, к которой мы можем применить теорему Стоуна, чтобы получить единственный независимый оператор импульса, является предположением .
Вот именно в этом и заключается мой вопрос: почему мы предполагаем, что $T(x_1,x_2)$ зависит только от $x_1-x_2$ , а также $R_z(\theta_1,\theta_2)$ зависит только от $\theta_1-\theta_2$ , но мы разрешаем $U(t_1,t_2)$ зависеть непосредственно от $t_1$ а также $t_2$ ?
@KeshavSrinivasan Я добавил аргументы в пользу этого.
Ну, это просто отодвигает проблему на шаг назад: почему мы позволяем вещам быть разными в разные моменты времени, но не позволяем одинаковым образом различаться в разных точках пространства или в разных направлениях?
@KeshavSrinivasan Потому что этот способ описания физических систем работает? Я не уверен, какую причину вы на самом деле ищете — в конце концов, предположения, сделанные в наших физических теориях, существуют потому, что результирующая теория правильно предсказывает результаты экспериментов. Кроме того, наивно, разве вы не согласились бы, что ставить что-то на место $x_1$ к $x_1+ b$ и что-то в $x_2$ к $x_2+b$ должна быть одна и та же операция независимо от того, что $x_1$ а также $x_2$ являются?
Да, но я бы также наивно верил в то же самое о $t_1$ а также $t_2$ . Теперь кто-нибудь может исправить мое наивное предположение и сказать, что со временем все может меняться таким образом, что это противоречит моему предположению о $t_1$ а также $t_2$ , но я бы спросил этого человека, почему вещи не могут так же меняться в зависимости от положения, что противоречило бы моему наивному предположению о $x_1$ а также $x_2$ , или меняться в зависимости от угла таким образом, что противоречило бы моему наивному предположению о $\theta_1$ а также $\theta_2$ .
В любом случае, вот что мне действительно нужно: я не думаю, что вы правы, говоря, что это просто фундаментальный постулат, который мы делаем на основе экспериментальных наблюдений. Я думаю, что это, вероятно, следствие чего-то другого, и я хочу найти, что это за что-то. (И я не думаю, что это что-то из коммутационного соотношения, потому что это не объясняет случай спинового углового момента.)
@KeshavSrinivasan Возможно, некоторые аспекты квантовых моделей можно описать как «последствия чего-то другого», но какое это имеет значение? Уровень, на котором ACuriousMind подошел к этому обсуждению, чертовски далеко вниз по цепочке «почему» в том, что касается отправных точек, и делает большинство вариантов, обычно принимаемых в определенных моделях QM, вполне правдоподобными. Итак, мы начинаем с этой правдоподобной модели, делаем прогнозы, и они чертовски хорошо работают. Мне любопытно узнать, какую форму ответа вы ищете, если не что-то вроде этого.

Робин Экман · Answer 3

Я думаю, что представление о том, что оператор положения или импульса является функцией другого оператора, немного неточно определено. Я понимаю, что вам не нужны объяснения из классической физики, так что, пожалуйста, извините на данный момент за аналогию с гамильтоновой механикой.

В гамильтоновой механике мы имеем дело с $2n$ -мерное пространство, на котором должна существовать 2-форма, т. е. антисимметричный 2-тензор $\omega_{ij}$ , который должен быть невырожденным, $\omega_{ij} v^j \neq 0$ пока не $v^j = 0$ , и закрытый, $\partial_{[i} \omega_{jk]} =0$ где скобки означают антисимметризацию. Все эти условия не зависят от координат. С $\omega_{ij}$ невырождена, она имеет обратную $\omega^{ij}$ . Если $f,g$ функции на этом $2n$ -мерном пространстве, мы можем определить операцию, называемую скобкой Пуассона $f$ а также $g$ к

{ф, грамм} знак равно ю_{я Дж} (ю^{я к} \partial_{к} ф) (ю^{Дж л} \partial_{л} грамм) .

$\{f, g\} = \omega_{ij} (\omega^{ik} \partial_k f)(\omega^{jl} \partial_l g).$ Обратите внимание, что скобка Пуассона определяется независимым от координат способом. Еще одна вещь, которую нам нужно сделать для гамильтоновой механики, — это функция Гамильтона

H

$H$ , что определяет динамику через

\dot{ф} знак равно {ф, ЧАС} .

$\dot f = \{f, H \}.$

Компоненты 2-формы $\omega_{ij}$ конечно зависят от координат. Теперь по теореме Дарбу всегда можно (локально) найти то, что называется каноническими координатами $x^i, i = 1, \ldots, 2n$ такой, что $\omega_{ij}$ принимает следующий вид

ю_{я Дж} знак равно [\begin{matrix} 0 & я_{н} \\ - я_{н} & 0 \end{matrix}]

$\omega_{\mathfrak{ij}} = \begin{bmatrix}0 & I_n \\-I_n & 0\end{bmatrix}$ куда

I_{n}

$I_n$ это

n \times n

$n\times n$ единичная матрица. Позволять

q^{i} = x^{i}, i = 1, \dots, n; p^{i} = x^{i + n}, i = 1, \dots, n .

$q^i = x^i, i = 1, \ldots, n; p^i = x^{i+n}, i = 1, \ldots, n.$ Тогда вы можете решить, что

{ф, грамм} знак равно \frac{\partial ф}{\partial д^{я}} \frac{\partial грамм}{\partial п^{я}} - \frac{\partial ф}{\partial п^{я}} \frac{\partial грамм}{\partial д^{я}} .

$\{f,g\} = \frac{\partial f}{\partial q^i} \frac{\partial g}{\partial p^i} - \frac{\partial f}{\partial p^i} \frac{\partial g}{\partial q^i}.$ Особенно,

{д_{я}, п_{Дж}} знак равно {дельта}_{я Дж} {д_{я}, д_{Дж}} знак равно {п_{я}, п_{Дж}} знак равно 0

$\{q_\mathfrak{i}, p_\mathfrak{j}\} = \delta_{\mathfrak ij} \quad \{q_\mathfrak{i}, q_\mathfrak{j}\} = \{p_\mathfrak{i}, p_\mathfrak{j}\} = 0$ и я могу легко восстановить уравнения Гамильтона в канонической форме.

В конкретной системе координат, подобной описанной, канонической системе координат, $q^i$ называются позициями или координатами, а $p^i$ называются импульсами. Ни одно из них не является функцией другого. Но это верно для любой системы координат: все координаты независимы друг от друга. С таким же успехом можно было бы использовать $v^i = p^i - eA^i(q^j)$ как вторая половина координат. Компоненты 2-формы будут более сложными, и формула для скобки Пуассона будет не такой красивой, но $(x^i, v^i)$ является идеальной системой координат.

Теперь перейдем к квантовой механике. В квантовой механике вместо скобок Пуассона вместо коммутаторов используются операторы. Динамика определяется

\hat{\dot{О}} знак равно \frac{я}{ℏ} [\hat{О}, \hat{ЧАС}]

$\hat{ \dot O} = \frac{i}{\hbar} [\hat O, \hat H]$ и по аналогии с гамильтоновой механикой введем в качестве наблюдаемых операторов

{\hat{x}}_{i}, {\hat{p}}_{i}

$\hat x_i, \hat p_i$ которые удовлетворяют

[{\hat{Икс}}_{я}, {\hat{п}}_{Дж}] знак равно я ℏ {дельта}_{я Дж} [{\hat{Икс}}_{я}, {\hat{Икс}}_{Дж}] знак равно [{\hat{п}}_{я}, {\hat{п}}_{Дж}] знак равно 0.

$[\hat x_i, \hat p_j] = i\hbar \delta_{ij} \quad [\hat x_i, \hat x_j] = [\hat p_i, \hat p_j] = 0.$ Мы говорим, что эти операторы образуют базис алгебры Ли. Но точно так же, как я свободен менять координаты в классическом случае, я свободен менять базис в квантовом случае. Нет смысла говорить, что оператор положения является функцией оператора импульса или наоборот, потому что все они являются взаимно независимыми базисными элементами в алгебре Ли.

Квантовый случай можно также непосредственно сформулировать в терминах замены координат. Тогда вместо скобки Пуассона на $2n$ -мерное фазовое пространство, имеет место скобка Мойала . Как и скобка Пуассона, скобка Мойала действует как дифференциальный оператор, и выражение для нее особенно просто в специальных системах координат, но использовать такие координаты не обязательно.

Но это не объясняет, почему оператор углового момента спина не является функцией угла $\theta$ что внутренний оператор вращения $\hat{R}_z$ является функцией. $\theta$ не имеет никакого оператора или наблюдаемого, соответствующего ему, так что это похоже на $t$ в этом отношении. И все же оператор Гамильтона $H$ допускается быть функцией $t$ .
@KeshavSrinivasan Почему вы говорите, что нет оператора для $\theta$ и что это не наблюдаемый? Является $\arccos(\hat{z}/\hat{r})$ недостаточно хорош для вас? Как вы думаете, квантовая механика не может описывать твердые тела? (Как же тогда классическая механика может?)
Это другое $\theta$ , как я ясно дал понять в своем вопросе. Это $\theta$ , который является одним из операторов положения в сферических координатах, является параметром оператора орбитального вращения. В то время как $\theta$ Я говорю о параметре внутреннего оператора вращения, т.е. оператора вращения, связанного со спином. Оператор орбитального углового момента имеет коммутационное соотношение с $\theta$ о котором вы говорите. Но нет аналогичного оператора угла, с которым оператор углового момента вращения имеет коммутационное соотношение.
Тогда зачем такой оператор существует? В той мере, в какой классическая теория вращения, т. е. собственного углового момента, существует, она не является теорией жесткого ротора. См., например, здесь physics.stackexchange.com/questions/108387/…
Да, это именно моя точка зрения, такой $\theta$ оператора не существует. Так почему нельзя $\hat{J}_z$ быть функцией $\theta$ , как только $\hat{H}$ является функцией $t$ ?

флиппифанус · Answer 4

На самом деле существуют сценарии, в которых оператор импульса может зависеть от положения. Рассмотрим, например, распространение света через случайную среду. Если мы включим эффект этой случайной среды в унитарную эволюцию поля через среду, то оператор импульса, который можно было бы вывести из этого, будет зависеть от положения из-за случайности среды.

Когда оператор импульса не зависит от положения, это отражает тот факт, что исследуемая система подчиняется пространственной трансляционной инвариантности и, следовательно, поддерживает сохранение импульса. В случайной среде импульс не сохраняется, потому что среда может вызвать рассеяние света, что подразумевает изменение импульса.

Однако то же самое относится и к гамильтониану. Если гамильтониан имеет явную зависимость от времени, то система не является инвариантной по отношению к сдвигам во времени, и тогда закон сохранения энергии нарушается.

На фундаментальном уровне мы знаем, что и импульс, и энергия сохраняются. Это отражается в том факте, что ни гамильтониан, ни оператор импульса не зависят явно от времени или положения. Например, в квантовых теориях поля (таких как КЭД) зависимость от пространственно-временных координат ограничена зависимостью полей и не проявляется явно в лагранжиане. Подразумеваемая трансляционная инвариантность в координатах пространства-времени приводит к нётеровскому току, тензору энергии-импульса, из которого получаются выражения для гамильтониана и операторов импульса, выраженные исключительно через поля и их производные.

В качестве простейшего примера, можем ли мы рассмотреть частицу в системе ящиков? Здесь оператор импульса может быть определен только в небольшом интервале (следовательно, зависит от положения), хотя есть и другие проблемы, связанные с самосопряженностью импульса, но это другая тема, представляющая интерес.

Амара · Answer 5

Сначала подумайте о гамильтониане. Гамильтониан является генератором временных сдвигов, поэтому он может быть функцией $t$ . Он может зависеть от времени или не зависеть от времени. Это кодирует то, как система развивается как функция времени. С математической точки зрения импульс является генератором перемещений пространства, поэтому в принципе он может быть функцией параметра положения . Таким образом, это может быть зависимость от позиции или независимая от позиции. Это расскажет нам, как система развивается в космосе .. Большинство экспериментаторов не проводят эксперименты с перемещением квантовых систем в пространстве, но проводят эксперименты с перемещением систем во времени. Вполне возможно, что в будущем, когда методы квантового управления будут очень развиты и квантовые системы можно будет защитить от декогеренции, однажды экспериментатору потребуется знать оператор импульса как функцию параметра положения. Также помните, что это нерелятивистская физика, положение и время не одно и то же. Нет причин думать, что они должны вести себя одинаково. Таким образом, чтобы ответить на ваш вопрос напрямую, оператор импульса в принципе может быть функцией параметра положения .

Я почти уверен, что если бы импульс был функцией положения, его было бы легко наблюдать экспериментально, поскольку коммутационное соотношение положение-импульс не выполнялось бы, и, таким образом, вы бы наблюдали нарушения принципа неопределенности Гейзенберга, которых мы просто не наблюдаем.
Коммутационное соотношение Гейзенберга верно, если оператор импульса не зависит от параметра положения, но это ничего не говорит о том, может ли импульс зависеть от параметра положения. Вполне может быть дифференциальное уравнение для решения импульса в какой-то сложной системе, и пока оператор импульса остается эрмитовым, оператор, действующий на квантовое состояние, полученное возведением оператора импульса в степень, будет оставаться унитарным и, следовательно, законным квантовым оператором.
Это нужно было бы проверить, но я почти уверен, что любой гамильтониан, который достаточно сложным образом связывает положение с импульсом, даст вам импульс как функцию положения.

Альфред Центавр · Answer 6

почему оператор Гамильтона может быть функцией параметра времени t, а оператор импульса не может быть функцией параметра положения x?

Оператор импульса может быть функцией $x$ . Я буду подробно цитировать страницы 57-58 книги Эйчисона и Хея «Калибровочные теории в физике элементарных частиц, 2-е изд.». так что это слишком долго, чтобы быть комментарием:

Существенным моментом является то, что (скажем, в одном измерении) $\hat p$ в конечном счете определяется коммутатором $(\hbar = 1)$

$[\hat{Икс}, \hat{п}] знак равно я$ $[\hat x, \hat p] = i$

Конечно, знакомый выбор

$\hat{п} знак равно - я \frac{\partial}{\partial Икс}$ $\hat p = -i \frac{\partial}{\partial x}$

удовлетворяет коммутационному соотношению. Но мы также можем добавить любую функцию из $x$ к $\hat p$ , и это изменено $\hat p$ по-прежнему будет удовлетворительным, поскольку $x$ коммутирует с любой функцией $x$ . Более подробные рассуждения Дирака показали, что эта произвольная функция действительно должна иметь вид $\frac{\partial F}{\partial x}$ , куда $F$ является произвольным. Таким образом

${\hat{п}}^{'} знак равно - я \frac{\partial}{\partial Икс} + \frac{\partial Ф}{\partial Икс}$ $\hat p ' = -i \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial x}$

является приемлемым оператором импульса.

Может быть десять тысяч операторов, удовлетворяющих коммутационному соотношению, но, по-видимому, есть только один оператор, равный пределу $i\hbar\frac{\hat{T}(x,x+\Delta x)-1}{\Delta x}$ так как $\Delta x$ переходит в 0. Меня интересует, почему этот оператор не может быть функцией положения.
@KeshavSrinivasan, достаточно справедливо, но позвольте мне указать на следующее в вашем вопросе: «поэтому импульс, являющийся функцией положения, испортит соотношение коммутации положение-импульс» .

Стивен Сагона · Answer 7

Здесь много математических ответов. Я не уверен, насколько удовлетворительными они будут «ощущаться», поскольку те, которые я читал, похоже, не дают никакого понимания того, почему импульс не является производной от положения.

Я думаю, что интуитивный ответ заключается в том, что импульс волны — это не то же самое, что импульс частицы. Этот оператор импульса ( $\frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx}$ ) больше похож на «оператор волнового импульса» и измеряет импульс волнового пакета, связанного с квантовым состоянием. Но ничто не мешает вам отслеживать «импульс частицы» и явно вычислять $m\frac{dx}{dt}$ .

Вот достойный ответ для построения интуиции о том, что такое импульс волны:

Чтобы прояснить проблему, давайте рассмотрим упрощенную модель струны: струна тянется вдоль оси x и состоит из масс, соединенных пружинами. Для концептуальной ясности предположим, что эти массы могут двигаться только вверх и вниз (вдоль y; это можно было бы реализовать в механической модели, заставив массы скользить вверх и вниз по маленьким проводам). В этом случае механический импульс явно только в направлении y (все движение происходит вдоль y), а в направлении распространения волны (x) механического импульса нет. В зависимости от формы волнового пакета общий импульс в направлении y также может быть равен нулю, если одни массы движутся вверх, а другие — вниз.

Этот оператор «волна-импульс» оказывается особенно полезным, особенно при описании энергии системы (а также может использоваться для «генерации» движения в положении путем многократного применения оператора, но это движение является движением всей системы). волновой пакет).

Теперь, почему это именно производная от x? Мы можем обрести некоторую интуицию, взглянув на решение уравнения Шрёингера для плоской волны:

ψ (Икс, т) знак равно е^{\frac{я}{ℏ} (п Икс - Е т)}

$\psi (x,t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)}$

Давайте попробуем найти p и выяснить, что такое p конкретно. Мы можем заставить p «спуститься» с экспоненты, применив частную производную.
где р

\frac{\partial ψ}{\partial Икс} знак равно \frac{\partial}{\partial Икс} е^{\frac{я}{ℏ} (п Икс - Е т)} знак равно \frac{я}{ℏ} п е^{\frac{я}{ℏ} (п Икс - Е т)}

$\frac{\partial \psi}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)} = \frac {i}{\hbar} p e^{\frac {i}{\hbar }(px-Et)}$

п ψ знак равно \frac{ℏ}{я} \frac{\partial}{\partial Икс} ψ

$p \psi = \frac {\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi$

Следовательно, мы можем сделать вывод, что представляет собой этот оператор p, перемещая все термины, чтобы явно показать, что p должен делать как оператор:

\hat{п} знак равно - я ℏ \frac{\partial}{\partial Икс}

$\hat {p}=-i\hbar \frac{\partial }{\partial x}$

Почему импульс не является функцией положения в квантовой механике?

Кешав Шринивасан

СлучайныйПреобразование Фурье

СлучайныйПреобразование Фурье

Кешав Шринивасан

Ответы (7)

тпаркер

Прасад Мани

Кешав Шринивасан

тпаркер

тпаркер

тпаркер

тпаркер

Кешав Шринивасан

тпаркер

тпаркер

Кешав Шринивасан

тпаркер

сасквайр

Любопытный Разум

Кешав Шринивасан

Любопытный Разум

Кешав Шринивасан

Любопытный Разум

Кешав Шринивасан

Любопытный Разум

Кешав Шринивасан

Кешав Шринивасан

джошфизика

Робин Экман

Кешав Шринивасан

Робин Экман

Кешав Шринивасан

Робин Экман

Кешав Шринивасан

флиппифанус

пользователь35952

Амара

Кешав Шринивасан

Амара

Амара

Альфред Центавр

Кешав Шринивасан

Альфред Центавр

Стивен Сагона