Почему любой оператор задается этой характеристической функцией?

Характеристическая или производящая функция в квантово-механических системах является некоммутативным обобщением соответствующего понятия классической вероятности.

Рассмотрим следующую классическую ситуацию (ее можно обобщать многими способами, но здесь удобно остановиться на простом примере). Позволять$\mu$быть вероятностью (мерой), действующей на конечномерное вещественное векторное пространство$V$. Его характеристическая функция, или преобразование Фурье,$\hat{\mu}$определяется как функция от двойственного$V'$из$V$к комплексным числам следующим образом: для всех$\omega\in V'$,

$$\hat{\mu}(\omega)=\int_V e^{i\omega(v)}\mathrm{d}\mu(v)\; .$$

Функция$\hat{\mu}(\cdot)$обладает следующими свойствами: она непрерывна,$\hat{\mu}(0)=\mu(V)=1$, причем положительно определенная: для любого$N\in\mathbb{N}$,$\{\alpha_i\}_{i=1}^N\subset \mathbb{C}$, и$\{\omega_i\}_{i=1}^N\subset V'$

$$\sum_{i,j=1}^N \alpha_i\bar{\alpha}_j \hat{\mu}(\omega_i-\omega_j)\geq 0\; .$$

Теорема Бохнера на самом деле говорит нам, что

Существует биекция между вероятностями на$V$и непрерывные функции на$V'$которые положительно определены и имеют значение один в нуле; такая биекция является в точности преобразованием Фурье.

Следовательно, преобразование Фурье однозначно идентифицирует (характеризует) вероятность.

В квантовой механике имеется совершенно аналогичный некоммутативный результат. Рассмотрим алгебру канонических коммутационных соотношений, построенную над конечномерным вещественным симплектическим пространством$(S,\sigma)$. Общеизвестно, что$(S,\sigma)\cong (\mathbb{R}^{2d},\omega)\cong (\mathbb{C}^d_{\mathbb{R}},\Im \langle \cdot,\cdot\rangle)$, где$\omega$- стандартная симплектическая форма,$\langle \cdot,\cdot\rangle$комплексное скалярное произведение и$\mathbb{C}^d_{\mathbb{R}}$это пространство$\mathbb{C}^d$рассматривается как вещественное векторное пространство. Другими словами, можно увидеть переменные, на которых строится алгебра канонических коммутационных соотношений, как положение и импульс$(q',p')\in \mathbb{R}^{2d}$или как комплексная переменная$z\in \mathbb{C}^d$(и его комплексное сопряжение).

Регулярные состояния алгебры канонических коммутационных соотношений — это состояния, которые можно записать в виде матриц плотности в обычном представлении Шредингера. Другими словами, это (положительные) операторы следового класса (первого следа), которые зависят только от канонических квантовых переменных, т. е. операторов положения и импульса или, что то же самое, операторов рождения и уничтожения. Эти операторы$\rho(a^*,a)$являются некоммутативными вероятностями в квантовой теории. Замечу, что поскольку они являются трассовыми, их трасса может быть взята и имеет конечное значение, и они являются положительными операторами. Тот факт, что их трасса одна, не важен, и на самом деле все можно было бы сделать для операторов положительного трассового класса с произвольной трассой.

Пусть сейчас$\rho(a^*,a)$— некоммутативная вероятность. Роль, которую играет персонаж$e^{i\omega(v)}$в коммутативной теории играет оператор Вейля$e^{a^*(z)-a(z)}$,$z\in \mathbb{C}^d$в квантовой механике. Поэтому естественно определить характеристическую функцию или некоммутативное преобразование Фурье в квантовой механике как:

$$\hat{\rho}(z)=\mathrm{Tr}\{\,\rho(a^*,a)\, e^{a^*(z)-a(z)}\}\; .$$ $\hat{\rho}(z)$является комплексным числом для любого $z$с $\rho(a^*,a)$является следовым классом. Кроме того, это непрерывная функция, $\hat{\rho}(0)=1$, и оно почти положительно определено: для любого $N\in\mathbb{N}$, $\{\alpha_i\}_{i=1}^N\subset \mathbb{C}$, и $\{z_i\}_{i=1}^N\subset \mathbb{C}^d$ $$\sum_{i,j=1}^N \alpha_i\bar{\alpha}_j \hat{\rho}(z_i-z_j)e^{i\Im \langle z_i,z_j\rangle}\geq 0\; .$$

Очень хорошо, что для некоммутативных вероятностей имеет место некоммутативная теорема Бохнера (доказанная И. Сигалом в 50-х годах):

Существует биекция между регулярными состояниями на алгебре канонических коммутационных соотношений над$(S,\sigma)$и непрерывные функции на$S$которые почти положительно определены и имеют значение, равное нулю; такая биекция является в точности некоммутативным преобразованием Фурье.

Следовательно, любое регулярное квантовое состояние (положительный ядерный оператор) на алгебре канонических коммутационных соотношений над$(S,\sigma)$однозначно характеризуется непрерывной и почти положительно определенной функцией на$S$. Это, на мой взгляд, более точная версия утверждения авторов статьи, на которую ссылается ОП. Кстати, некоммутативная теорема Бохнера верна и для бозонных квантовых теорий поля, т. е. даже если$S$бесконечномерна (с соответствующими модификациями).

В заключение, если функция$\rho(a^*,a)$не является положительным, но все же классом трассировки, следует быть немного осторожным в определении его характеристической функции. Каждый оператор класса трассировки$A$можно однозначно записать как комбинацию четырех положительных операторов$A_1,A_2,A_3,A_4$:

$$A=A_1-A_2+i(A_3-A_4)\; .$$ Следовательно, все операторы $\rho_1(a^*,a)$, $\rho_2(a^*,a)$, $\rho_3(a^*,a)$, $\rho_4(a^*,a)$характеризуются своей характеристической функцией с обычными свойствами, но характеристической функцией неположительного $\rho(a^*,a)$не является почти положительно определенным. Тем не менее, можно сказать, что каждая ядерная функция операторов рождения и уничтожения однозначно характеризуется четырьмя непрерывными и почти положительно определенными функциями на $S$.

Функция$^1$

$$C(q^{\prime},p^{\prime})~=~{\rm Tr} \left\{e^{i(p^{\prime}\hat{q}-q^{\prime}\hat{p})} \hat{G}(\hat{q},\hat{p})\right\}\tag{7}$$ является (с точностью до знаков) преобразованием Фурье $$C(q^{\prime},p^{\prime})~=~\iint\frac{\mathrm{d}q~\mathrm{d}p}{2\pi} e^{i(p^{\prime}q-q^{\prime}p)}G_{W}(q,p),$$ символа Вейля $$G_{W}(q,p)~=~\iint\frac{\mathrm{d}q^{\prime}~\mathrm{d}p^{\prime}}{2\pi} e^{i(q^{\prime}p-p^{\prime}q)}C(q^{\prime},p^{\prime})$$ для оператора $$\hat{G}(\hat{q},\hat{p})~=~\iint\frac{\mathrm{d}q^{\prime}~\mathrm{d}p^{\prime}}{2\pi} e^{i(q^{\prime}\hat{p}-p^{\prime}\hat{q})}C(q^{\prime},p^{\prime}). \tag{12}$$ Сравните, например, с этим сообщением Phys.SE и страницей Википедии для преобразования Вигнера-Вейля . Математически. конструкция ограничена достаточно хорошими операторами/функциями, где такие интегральные преобразования четко определены.

--

$^1$Здесь мы используем переменные реального фазового пространства (но это может быть эквивалентно переписано в переменных комплексного фазового пространства).