Почему при абсолютно неупругом столкновении теряется максимальная кинетическая энергия?

Насколько я могу судить, здесь нам нужно интуитивное понимание, а не математическое. Математические выражения немного затуманивают интуицию. Но если мы примем, что два сталкивающихся тела имеют одинаковую массу, выражения сильно упростятся. Хотя это и не очевидно сразу, результаты применимы к произвольным комбинациям масс.

Позвольте мне, о чем идет речь, быть$m$. Если мы назовем начальные скорости двух тел$\vec{v_1}$и$\vec{v_2}$, а конечные скорости$\vec{v_1'}$и$\vec{v_2'}$соответственно, наше единственное ограничение состоит в том, что импульс должен сохраняться. Так:

$m \vec{v_1} + m \vec{v_2} = m \vec{v_1'} + m \vec{v_2'}$

Так как мы взяли массы равными, это сразу сводится к:

$\vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{v_1'} + \vec{v_2'}$

Теперь скорость центра масс (иногда мы называем его центром импульса, особенно при работе с релятивистскими системами), которую мы будем называть$\vec{V}$является:

$\vec{V} = \frac{m \vec{v_1} + m \vec{v_2}}{m + m}$

Опять же, в силу равных масс легко сводится к:

$\vec{V} = \frac{\vec{v_1} + \vec{v_2}}{2}$

Если мы преобразуем начальные скорости в эту новую систему отсчета и назовем соответствующие начальные скорости тел в этой (центр масс) системе отсчета$\vec{u_1}$и$\vec{u_2}$, они есть:

$\vec{u_1} = \vec{v_1} - \vec{V}$

$\vec{u_2} = \vec{v_2} - \vec{V}$

Подстановка выражения для$\vec{V}$дает:

$\vec{u_1} = \vec{v_1} - \frac{\vec{v_1} + \vec{v_2}}{2}$

$\vec{u_2} = \vec{v_2} - \frac{\vec{v_1} + \vec{v_2}}{2}$

Упрощение приводит к:

$\vec{u_1} = \frac{\vec{v_1} - \vec{v_2}}{2}$

$\vec{u_2} = \frac{\vec{v_2} - \vec{v_1}}{2}$

Оооо... Итак,$\vec{u_1}$и$\vec{u_2}$равны и противоположны! Отсюда следует определение относительной скорости:

$\vec{r} = \frac{\vec{v_1} - \vec{v_2}}{2}$

Такой, что сейчас

$\vec{u_1} = \vec{r}$

$\vec{u_2} = -\vec{r}$

Зачем все эти проблемы? Вся эта работа по существу показывает две вещи:

• В системе центра масс тела имеют одинаковую величину и скорости в противоположном направлении.

• В исходном кадре скорости могут быть выражены как:

$\vec{v_1} = \vec{V} + \vec{r}$

$\vec{v_2} = \vec{V} - \vec{r}$

Если мы назовем кинетическую энергию в исходной системе отсчета$T$, мы можем выразить это как:

$T = \frac{1}{2}m v_1^2 + \frac{1}{2}m v_2^2$

Хорошо,$v_1^2$является$\vec{v_1}\cdot\vec{v_1}$и$v_2^2$является$\vec{v_2}\cdot\vec{v_2}$. Так:

$T = \frac{1}{2}m (\vec{V} + \vec{r})\cdot (\vec{V} + \vec{r}) + \frac{1}{2}m (\vec{V} - \vec{r})\cdot (\vec{V} - \vec{r})$

Давайте расширим эту сумасшедшую вещь:

$T = \frac{1}{2}m (V^2 + r^2 + 2 \vec{V}\cdot\vec{r}) + \frac{1}{2}m (V^2 + r^2 - 2 \vec{V}\cdot\vec{r})$

Здесь происходит маленькое чудо. Существует совершенная отмена точечных произведений. Это идеальное аннулирование происходит только тогда, когда$\vec{V}$– скорость центра масс; для любого другого кадра перекрестные члены останутся. Таким образом, центр масс рамы особенный. (Это работает так же хорошо, когда массы не равны, только с более сложными выражениями.)

Наше выражение кинетической энергии теперь:

$T = \frac{1}{2}m V^2 + \frac{1}{2}m V^2 + \frac{1}{2}m r^2 + \frac{1}{2}m r^2$

Это действительно круто. Кинетическая энергия разделилась на две отдельные части. Один, мы можем позвонить$T_c$, то есть кинетическая энергия из-за движения центра масс, которая равна:

$T_c = \frac{1}{2}m V^2 + \frac{1}{2}m V^2$

Вторая часть, которую мы можем назвать$T_r$, которая представляет собой кинетическую энергию из-за движения относительно центра масс:

$T_r = \frac{1}{2}m r^2 + \frac{1}{2}m r^2$

И, конечно же:

$T = T_c + T_r$

Теперь давайте рассмотрим, что происходит после столкновения. В системе центра масс (которая, как мы теперь знаем, является специальной) начальный полный импульс равен нулю ($m \vec{r} - m \vec{r} = \vec{0}$) Значит, конечный импульс должен быть равен нулю. Следуя тем же рассуждениям о преобразовании, конечные скорости в исходной системе отсчета могут быть выражены как:

$\vec{v_1'} = \vec{V} + \vec{r'}$

$\vec{v_2'} = \vec{V} - \vec{r'}$

Здесь,$\vec{r'}$— относительная скорость в конечном состоянии (после столкновения). При почти таком же выводе конечная кинетическая энергия$T'$можно выразить как (очевидно, в исходном кадре):

$T' = T_c + T_r'$

$T_c = \frac{1}{2}m V^2 + \frac{1}{2}m V^2$(точно так же, как и раньше)

$T_r' = \frac{1}{2}m r'^2 + \frac{1}{2}m r'^2$

Итак, кинетическая энергия за счет движения центра масс не меняется. В основном это связано с сохранением импульса. Что может измениться, так это движение относительно центра масс, которое зависит от деталей (и эластичности) столкновения.

Для абсолютно упругого удара

$|\vec{r}| = |\vec{r'}|$

В общем случае из-за сохранения энергии:

$|\vec{r'}| \leq |\vec{r}|$

(Если некоторая энергия высвобождается из другого источника, но это не то, что мы здесь рассматриваем.)

Для совершенно неупругого удара$\vec{r'} = \vec{0}$. Кинетическая энергия после столкновения тогда будет просто энергией движения центра масс — система становится сосредоточенной, и ее «компоненты» больше не несут никакой кинетической энергии.

Просто повторю ключевой момент: система центра масс особенная в том смысле, что кинетическая энергия в any_other_reference_frame может быть выражена как сумма кинетической энергии центра масс в этой системе отсчета плюс кинетические энергии тел в центре масс системы отсчета. Итак, после столкновения, поскольку вы не можете изменить скорость центра масс системы без действия внешних сил, эта часть кинетической энергии остается неизменной. Что вы можете потерять, так это кинетическую энергию тел в системе из-за движения относительно центра масс. И это происходит только в случае совершенно неупругого столкновения, когда тела слипаются и неподвижны в центре масс рамы.

Таким образом, это наибольшая кинетическая энергия, которая может быть потеряна. КЭД.

Это может быть легко превращено в исчисление.$1$задача условной минимизации.

Вы хотите минимизировать общую кинетическую энергию

учитывая ограничение сохранения monmentum

Затем вы можете легко показать (работа остается за вами), что$K$минимизируется при этом ограничении, когда

т.е. когда объекты движутся с одинаковой скоростью. Конечно, поскольку это происходит при совершенно неупругом столкновении, этот тип столкновения минимизирует кинетическую энергию системы.

Важным результатом является то, что кинетическая энергия системы любого числа частиц минимальна в системе отсчета, привязанной к центру масс . Итак, если вы хотите потерять максимально возможную энергию, вам нужно получить такую ​​конечную конфигурацию в системе центра масс, чтобы ни одна из частиц не двигалась (это самая низкая конечная кинетическая энергия, которую вы можете достичь, а именно: 0). Вышеупомянутая ситуация возможна только в том случае, если все частицы останавливаются в системе центра масс сразу после столкновения, другими словами, все частицы «прилипают» друг к другу.

Этот аргумент превосходит аргументы, представленные в других ответах, поскольку этот аргумент действителен для любого количества одновременно сталкивающихся частиц .

Для общего случая двух частиц кинетическая энергия в системе центра масс может быть записана как

где$m_1$и$m_2$- массы частиц, а$v_{\rm rel}$есть величина относительной скорости обеих частиц. Как и ожидалось, если обе частицы перестанут двигаться (станут неподвижными или застрянут после столкновения) в центре масс системы отсчета$v_{\rm rel}$становится равным нулю, равно как и кинетическая энергия. И это физическая причина, которую вы ищете.

Но то, что ke равно 0 в каком-то кадре, не означает, что оно минимально возможное в любом другом кадре, не так ли?

Я хотел бы подчеркнуть кое-что важное: ! Кинетическая энергия никогда не может быть отрицательной

Нуль - это минимально возможная кинетическая энергия!

---

Просто некоторый контекст:

Система отсчета центра масс особенно полезна при изучении ядерных столкновений.

Просто посмотрите сюда .

Согласно теореме Нётер , если мы сделаем преобразование Галилея и придадим системе движущихся частиц полный импульс$\vec p$, затем$\vec p - m_{tot}\vec v_{cm}=0$, где$m_{tot}$общая масса частиц и$\vec v_{cm}$скорость центра масс кадра.
Это означает, что независимо от$\vec v_{cm}$, мы всегда можем преобразовать движущуюся CM-систему в CM-систему с нулевой скоростью, в которой очевидно, что после неупругого столкновения частицы слипаются и имеют нулевой импульс и, следовательно, нулевую скорость (само определение неподвижного СМ-система — это система, в которой полный импульс остается равным нулю до и после столкновения), что означает, что кинетическая энергия имеет минимум в ноль джоулей.

Для совершенно неупругого столкновения существует система отсчета (система центра импульса), в которой конечное состояние имеет нулевую кинетическую энергию, а ноль является абсолютным минимумом.

Мой вопрос: почему из всех возможных комбинаций конечных скоростей, сохраняющих импульс, именно эта приводит к наибольшей потере кинетической энергии?

Есть милая геометрическая интерпретация, которую я хочу показать.

Мы будем рассматривать столкновения в одном измерении. Позволять$m_1$,$m_2$быть массы двух объектов;$v_1$,$v_2$быть скорости.

Скорости двух объектов могут быть представлены с некоторой модификацией в виде точек на плоскости. С

мы могли бы вдохновиться, чтобы построить наши точки как

Теперь, если мы рассмотрим конкретный снимок во времени, множество всех точек, имеющих постоянный КЕ, определяется окружностью :

с центром вокруг начала координат, с радиусом$\sqrt{2\,\text{KE}}$.

Точно так же, поскольку сохранение импульса определяется как

множество всех точек, имеющих постоянный импульс, определяется линией :

Если мы представим начальные скорости как ранее существовавшую точку на плоскости, столкновение будет представлено как прерывистая икота. Сохранение кинетической энергии в виде окружности и сохранение импульса в виде линии в большинстве случаев очерчивают еще одно пересечение. Это пересечение обозначает упругое столкновение.

Однако если кинетическая энергия теряется, как при неупругом столкновении, то мы ограничены диском внутри плоскости. Объединение с сохранением импульса заключает нас в отрезок прямой, изображенный ниже синим цветом.

Где на этом отрезке мы теряем больше всего кинетической энергии? Радиус нашего$\text{KE}$круг был определен$\sqrt{2\,\text{KE}}$, что означает, что мы хотим, чтобы наша новая точка, все еще на участке сохраняющегося импульса, находилась как можно ближе к началу координат.

Другими словами, если бы мы провели линию от начала координат до самой неупругой точки, она была бы перпендикулярна линии импульса.

Но наклон линии импульса уже задан как$-\sqrt{m_1/m_2}\,$. Таким образом, наиболее неупругая линия должна иметь уравнение

Обратите внимание, что эта теорема, как и ожидалось, инвариантна к начальным условиям.

$\rule[0.1pt]{300pt}{0.4pt}$

Чтобы связать этот ответ с обсуждением изменения системы отсчета, просто отметьте, что изменение системы отсчета соответствует переводам начала относительно$\sqrt{m_2/m_1}$линия; линия совершенной неупругости. Когда начало координат попадает на линию импульса, эта система отсчета является системой центра масс.

Эта интерпретация была вдохновлена ​​видео на YouTube от 3Blue1Brown .

Если я правильно понимаю ваш вопрос, то ответом будет просто понимание того, что кадр COM делает с проблемой двух тел. Если вы помните, задача с двумя телами может быть преобразована в задачу с одним телом в фрейме COM. Это означает, что уравнения движения теперь нового тела эквивалентны исходному сценарию.

Поскольку кинетическая энергия (по крайней мере, классически) не может быть отрицательной, минимум соответствует нулю (с максимальными потерями), поэтому она не может быть ниже для любого другого кадра.

Вот что я имею в виду. Возьмем это неупругое столкновение из какого-нибудь другого кадра, где КЕ имеет какое-то значение. Если бы это столкновение было упругим, вычисление KE из выбранного кадра $ дало бы значение больше, чем в предыдущем случае. Таким образом, в основном получение минимально возможного значения (= 0) для KE из кадра COM означает, что если вы выбрали любой другой кадр, в котором KE не равно нулю, упругое столкновение, наблюдаемое в этом кадре, даст большее значение KE и, следовательно, меньшие потери. Суть в том, что для сравнения упругого и неупругого столкновения вы должны придерживаться одного кадра, каким бы он ни был.

Если вам не нужны вычисления и нужна физическая интерпретация, вот одна из них:

Значение неупругого столкновения заключается в том, что некоторая энергия столкновения преобразуется в потенциальную энергию либо за счет изменения формы, либо за счет тепла, либо звука и т. д.

Итак, при идеальном неупругом столкновении максимальное количество энергии превращается в потенциальную энергию. А при сохранении энергии теряется максимальная кинетическая энергия. (Рассматривая окружающую среду как часть системы.)