Связь между сохранением энергии и сохранением импульса?

Следует помнить, что при неупругих столкновениях энергия внутри системы не сохраняется . Часть энергии теряется в виде тепловой энергии, и, в конце концов, требуется некоторая энергия, чтобы блоки склеились. Однако это не означает, что закон сохранения энергии неверен. Это просто означает, что энергия покинула изучаемую вами систему (блоки$A$и$B$). Если бы вы измерили количество энергии, покинувшей систему, вы бы увидели, что в целом энергия все еще сохраняется.

В качестве указателя на будущее, как правило, мы только предполагаем, что абсолютно упругие столкновения сохраняют как импульс, так и энергию.

Я также задавался вопросом об этом - ограничения, налагаемые на решения упругих столкновений двойственными законами сохранения как импульса, так и кинетической энергии - и существует ли комбинация масс, которая может привести к тому, что две массы движутся с одинаковой скоростью после столкновения . Многие здесь приводили априорное предположение , что ситуация подразумевает неупругое столкновение, но мне не сразу стало очевидно, что это должно быть так.

Решение одновременных уравнений очень быстро стало очень запутанным, поэтому я построил уравнения для теоретической массы, равной единице, и скорости = 2, сталкивающейся с идентичной неподвижной массой в одном измерении (возможно, вагонами на рельсах или совершенно прямым столкновением бильярдных шаров). ). На графиках показаны результаты после столкновения для скоростей массы 1 (ось x) и массы 2 (ось y) при сохранении импульса и кинетической энергии. Единственно возможные решения должны удовлетворять обоим, поэтому мы исследуем пересечения:

Как и ожидалось, есть два решения: одно невозможное, в котором масса 1 практически беспрепятственно проходит через массу 2, не влияя на массу 1 (скорость массы 1 = 2, скорость массы 2 = 0), а другое (и единственно допустимое решение) при этом масса 1 останавливается и передает свой полный импульс массе 2, которая теперь удаляется со скоростью 2 (представьте, что белый биток останавливается замертво при ударе по другому шару).

Теперь, если мы рассмотрим случай с массой 2, вдвое превышающей массу 1:

Мы видим, что возможным решением является то, в котором более легкая масса 1 отскакивает от более тяжелой массы 2 (скорость массы 1 ~ -0,65, масса 2 движется вперед со скоростью ~ 1,3). Ясно, что в любом случае, когда масса 1 легче, она будет до некоторой степени отскакивать, а масса 2 продвигаться вперед. Так что нет возможности для$m1 < m2$в котором они могут сливаться с одинаковой скоростью.

Рассматривая противоположный случай, с$m1 > m2$, в этом случае масса 1 вдвое больше массы 2:

Теперь мы видим, что масса 1 сохраняет положительный импульс (скорость ~0,65), а масса 2 быстро отлетает (скорость ~2,7). Отсюда можно сделать вывод, что для любого$m1 > m2$, m2 приобретут скорость >2, а первоначальная масса 1, сообщив некоторый импульс массе 2, сохранит скорость в пределах #0<v2<2$. Опять же, не существует решения для любых двух масс, удовлетворяющего условиям сохранения как импульса, так и энергии, которое позволяет двум массам делать что-либо, кроме как «отскакивать» друг от друга в какой-то степени — что, я полагаю, вы могли бы сделать из упругого столкновения!

Я не исследовал это дальше, но не вижу оснований подозревать, что результат не будет распространен на упругие столкновения, в которых движутся обе массы, или на два или три измерения.

Кроме того, мне было интересно узнать, что как соотношение$m1:m2$была увеличена, скорость, достигаемая массой 2, была ограничена до 4 (или, я подозреваю, удвоенной, какой бы ни была начальная скорость) - опять же, я полагаю, что должен быть какой-то предел, особенно учитывая, что в то же время (масса 1 становится относительно намного тяжелее) скорость массы 1 приближается к пределу 2 (маленькая масса 2 практически не влияет на нее) - поэтому потеря импульса небольшая, а скорость массы 2 обязательно ограничена.

Итак, я надеюсь, вы понимаете, как теперь вижу я (и это, по-видимому, было очевидно для более опытных респондентов здесь), что обе массы не могут испытывать одинаковую скорость при упругом столкновении. Кроме того, что поведение полностью детерминировано решением одновременных уравнений!

РЕДАКТИРОВАТЬ Я думаю, имеет смысл, что максимальная скорость после столкновения для массы 2 вдвое больше, чем у (относительно очень тяжелой) массы 1 - это можно увидеть при настройке системы отсчета таким образом, что масса 1 неподвижна, а масса 2 приближается к ней со скоростью = -2 ..... достаточно тяжелая масса 1 будет действовать как стена, а масса 2 будет упруго отскакивать от нее со скоростью = +2, чистое изменение +4 .... таким образом, максимальная скорость дифференциал$|v2 - v1|$ограничен величиной начального перепада скоростей (как при отскоке частицы от стенки).

Давайте сделаем конкретный пример с числами:

Предположим, что$v_a = 6m/s$и$v_b = 0 \rightarrow E_k = 0.5 * 6^2 = 18, p_a = 1 * 6 = 6, v_{cm} = p/M = 2$

. По закону сохранения энергии и импульса:

Кинетическая энергия и импульс сохраняются только при идеальном упругом столкновении, если тела слипаются, то столкновение неупругое, сохраняется только импульс:

После столкновения скорость все равно будет ниже , так как КЭ должна быть распределена по большей массе, но часть КЭ теряется при столкновении. Сколько?

Импульс сохраняется:$p_{ab} = 6$, по этим данным вы можете рассчитать его скорость:

Некоторая энергия была передана В, но две трети кинетической энергии были преобразованы в другие формы энергии. Общий закон « сохранения энергии » так или иначе не был нарушен.

Скорость центра масс та же, хотя КЕ изменилась.

Обратите внимание, что импульс сохраняется, потому что мы предполагаем, что на поверхности контакта нет трения .

Изменение КЭ без изменения импульса не только возможно, но и очень часто, так как импульс p = mv изменяется линейно , а КЭ квадратично . Вы можете получить один и тот же продукт с помощью широкого диапазона факторов: 6 = 6 * 1, = 3 * 2, = 2 * 3, = 1 * 6, = 0,5 * 12 и т. д., разные факторы дают один и тот же импульс.

Все эти факторы дают одинаковые значения для m*v, но, поскольку значение v должно быть возведено в квадрат, вы получаете все разные значения между импульсом и энергией, поэтому одни и те же факторы дают импульс = 6, но KE = 3, = 6, = 9 , =18, =72 и т. д., один и тот же импульс соответствует множеству различных значений KE

В каких случаях использование Momentum выгодно...

Вы только что видели, что сохранение импульса жизненно важно при неупругих столкновениях, потому что энергия не сохраняется.

Проблема с вашим решением заключается в том, что неупругое столкновение и предположение о сохранении кинетической энергии исключают друг друга. Вы можете видеть это в своей математике, когда пытаетесь решить для$v_2$.

Переписывая уравнение$(1)$дает$v_1=\left(m+M\right)v_2/m$который вставлен в$(2)$урожаи

Это говорит вам о том, что неупругое столкновение может происходить одновременно с сохранением кинетической энергии только в том случае, если одна из масс не имеет массы ($M=0$). В данной конкретной ситуации это то же самое, что сказать, что$M$никогда не присутствовал в первую очередь, и не было никакого столкновения.

И энергия, и импульс сохраняются, как всегда. Но чтобы понять, почему это утверждение верно, вам нужно взглянуть на систему, как вы ее описали, чуть более внимательно:

Чтобы блоки А и В после столкновения слиплись, сила между ними должна быть равна нулю, когда разность скоростей равна нулю, иначе эта сила продолжала бы ускорять блок В и тормозить блок А.

Теперь давайте представим небольшую пружину между А и В — это представляет собой способ, которым сила одного объекта на другом приводит к взаимной деформации и накоплению упругой энергии, но я превращаю ее в настоящую (безмассовую) пружину для иллюстрации.

Когда А вступает в контакт с пружиной, эта пружина начинает сжиматься, и в то же время В начинает ощущать силу А. Но главное здесь то, что пружина сжимается. И что это сжатие означает накопление энергии. Продолжайте сжимать пружину до тех пор, пока А и В не будут двигаться с одинаковой скоростью: это соответствует максимальному сжатию пружины. По мере того, как блоки продолжают двигаться, пружина снова начнет расширяться, ускоряя B относительно A, пока они не разделятся, и пружина снова не достигнет своей естественной длины. Это процесс упругого столкновения - энергия упруго накапливается во время столкновения и возвращается в конце.

При неупругом столкновении «пружина остается сжатой. Если бы я мог волшебным образом «запереть» пружину (заставить ее прилипнуть), накопленная в пружине энергия (которую вы должны были бы вычислить) в точности равна «недостающей энергии» в пружине. движения блоков) остается там. Теперь при неупругом столкновении пружина поглощает упругую энергию и превращает ее в тепло. Это все еще сохранение энергии - но преобразование кинетической энергии в тепловую.

Я надеюсь, что вышеизложенное проясняет ситуацию. Вы должны попытаться записать математику для этой системы масса-пружина-масса. Дайте мне знать, если вы боретесь с этим.

хотя импульс, как и энергия, сохраняется, но определенно сумма индивидуальных импульсов частиц не равна сумме индивидуальных KE частиц. также могут быть разные значения KE для одного и того же импульса. Таким образом, нельзя получить никакого результата, манипулируя уравнениями.