Почему притяжение Солнца является центральной силой, если оно не находится в центре эллиптической орбиты?

Обычно мы используем положение солнца в качестве точки отсчета. Вы правы в определении, что это находится в фокусе эллипса. Затем мы решаем взять количества относительно Солнца в качестве источника. например, радиальное расстояние для эллипса от фокуса определяется выражением

$$r=\frac{a(1-e^2)}{1\pm e\cos\theta},$$ тогда как для определения расстояния от центра эллипса используется выражение $$r=\frac{ab}{\sqrt{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta}}.$$

Далее мы определяем такие вещи, как$\vec{r}$от Солнца и угловой момент$\vec{r}\times\vec{p}.$Теперь я попытаюсь объяснить, почему мы решили сделать это.

Подумайте, если бы мы использовали центр эллипса вместо этого. Это положение центра зависит от орбитальных элементов орбиты, на которую мы смотрим. Таким образом, центр нашего происхождения Земли-Солнца будет отличаться от центра Солнца-Юпитера. Это звучит невероятно неудобно для работы. Например, угловой момент Юпитера было бы бессмысленно сравнивать с угловым моментом Земли, поскольку он взят относительно другой точки. Если вместо этого мы используем Солнце, то начало координат остается прежним, и два угловых момента приобретают смысл для сравнения.

Кроме того, это имеет хороший физический смысл, поскольку, как вы также правильно определили, именно туда нас тянет гравитация. Это означает, что мы можем легко использовать сферическую симметрию, если выберем это начало.

Итак, в заключение, фокус как источник имеет физический смысл. Расположение центра эллипса зависит от конкретной орбиты, на которую вы смотрите, и не очень полезно для математических расчетов. Затем, когда мы говорим, что что-то является центральным, мы имеем в виду выбранное нами происхождение, которое здесь находится в центре внимания.

Точка в пространстве, которую вы определяете как начало координат, не может изменить природу силы, поскольку природа не заботится о системах координат.

Когда мы говорим, что центральная сила удовлетворяет

$$\vec F=F(r)\hat r,$$ мы определяем начало координат как центр силы. Однако мы можем рассматривать центр силы в положении $\vec r_0$и в этом случае центральная сила определяется выражением $$\vec F=F(|\vec r-\vec r_0|)\frac{(\vec r-\vec r_0)}{|\vec r-\vec r_0|}.$$ Как вы можете догадаться, вы можете считать Солнце удаленным от источника, но сила по-прежнему остается центральной.

И Солнце, и Земля на самом деле движутся по эллипсу, и каждый из их эллипсов имеет фокус в центре масс двух, также известном как барицентр.

Наше Солнце примерно в 333 тысячи раз массивнее Земли. Следовательно, его эллипс крошечный по сравнению с эллипсом Земли, и поэтому мы можем его игнорировать. Я где-то читал (и было бы достаточно легко сделать расчет), что наше Солнце притягивается примерно на 4 км массой Земли, когда Земля движется вокруг него. 4 км от центра Солнца все равно будут внутри Солнца.

Если оба объекта имеют одинаковую или близкую массу, например, в двойной системе, более очевидно, что каждый движется по своему собственному эллипсу с фокусами в центре масс системы.

Сила действует по направлению к этому центру масс, а не точно по направлению к центру Солнца.

Код обработки здесь может помочь и продемонстрировать .