Вопросы 2, 3 и 4 все сводятся к тому, что мы предполагаем, что на две массы не действует никакая внешняя сила и тогда по законам Ньютона их центр масс должен оставаться неподвижным (или двигаться с постоянной скоростью, но я изначально выберу это равно нулю).

Если$T_A\neq T_B$то, в конце концов, обе массы были бы одной и той же стороной$F_{1A}$/$F_{2B}$и некоторое время спустя эта точка окажется между ними, что будет означать, что центр масс будет двигаться.

Для двух других было бы проще, если бы я сначала ответил на ваш первый вопрос. Если представить расстояние между$m_A$а центр масс как$r_A$и аналогичное расстояние между$m_B$а центр масс как$r_B$. По определению центра масс он всегда должен находиться между ними и находиться на одной линии с ними.$m_A$и$m_B$, и

$$m_A\,r_A=m_B\,r_B. \tag{1}$$

Сила гравитации от$m_B$на$m_A$также может быть вызвано другой вымышленной массой, закрепленной в центре масс. Масса этого вымышленного объекта, обозначенная$\hat{m}_B$, можно найти такую, чтобы она всегда оказывала ту же силу, что и$m_B$,

$$\frac{G\,m_B}{(r_A+r_B)^2} = \frac{G\,\hat{m}_B}{r_A^2}, \tag{2}$$

используя уравнение$(1)$затем$r_B$может быть выражено в$r_A$,$m_A$и$m_B$,

$$\frac{G\,m_B}{r_A^2\left(1+\frac{m_A}{m_B}\right)^2} = \frac{G\,\hat{m}_B}{r_A^2}, \tag{3}$$

$$\hat{m}_B = \frac{m_B^3}{(m_A + m_B)^2}. \tag{4}$$

Аналогичным образом вы также можете сделать это для$m_B$путем замены$m_A$с$\hat{m}_A$закреплен в центре масс,

$$\hat{m}_A = \frac{m_A^3}{(m_A + m_B)^2}. \tag{5}$$

Используя эти массы, вы теперь можете использовать исходное выражение для орбитального периода ,

$$T_A = 2\pi\sqrt{\frac{a_A^3}{G\,\hat{m}_B}} = 2\pi\sqrt{\frac{a_A^3\,(m_A + m_B)^2}{G\,m_B^3}}, \tag{6}$$

$$T_B = 2\pi\sqrt{\frac{a_B^3}{G\,\hat{m}_A}} = 2\pi\sqrt{\frac{a_B^3\,(m_A + m_B)^2}{G\,m_A^3}}. \tag{7}$$

Уравнение$(1)$также должно выполняться и для больших полуосей, поэтому для выражения для$T_B$также может быть записано как

$$T_B = 2\pi\sqrt{\frac{\left(a_A\frac{m_A}{m_B}\right)^3\,(m_A + m_B)^2}{G\,m_A^3}} = 2\pi\sqrt{\frac{a_A^3\,(m_A + m_B)^2}{G\,m_B^3}}, \tag{8}$$

что совпадает с выражением для$T_A$в уравнении$(6)$. Вызов этого выражения$T$и переписав его в форму, аналогичную той, что указана в вашем вопросе,

$$\frac{T^2\,m_B^3}{a_A^3\,(m_A + m_B)^3} = \frac{4\pi^2}{G\,(m_A + m_B)}. \tag{9}$$

Снова применяя уравнение$(1)$на большие полуоси, то левая часть уравнения$(9)$можно записать как,

$$\frac{T^2\,m_B^3}{a_A^3\,(m_A + m_B)^3} = \frac{T^2}{\left(a_A\,\left(\frac{m_A}{m_B} + 1\right)\right)^3} = \frac{T^2}{\left(a_B + a_A\right)^3}, \tag{10}$$

что действительно является отношением, что вы, где после.

Поскольку я уже показал, что относительно$m_A$ты мог бы заменить$m_B$с$\hat{m}_B$закреплен в центре масс. Потому что$\hat{m}_B$фиксирована, то она также должна быть фокальной точкой орбиты$m_A$. Точно так же можно показать, что центр масс должен быть фокусом орбиты$m_B$.

Теперь предположим, что результирующая орбита$m_A$ похоже ,

$$r_A = \frac{a_A\,(1 - e_A)^2}{1 + e_A\,\cos\theta}, \tag{11}$$

затем, используя уравнение$(1)$выражение для$r_B$может оказаться,

$$r_B = \frac{m_A}{m_B} \frac{a_B\frac{m_B}{m_A}\,(1 - e_A)^2}{1 + e_A\,\cos\theta} = \frac{a_B\,(1 - e_A)^2}{1 + e_A\,\cos\theta}. \tag{12}$$

Таким образом, эксцентриситеты обеих орбит также должны быть одинаковыми, только точка, из которой вы измеряете$\theta$следует повернуть на 180°.