Почему пространственно-временной интервал квадратичен?

Вы правы, когда указываете, что любая функция$\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 - \Delta t^2$будет постоянным и согласованным всеми наблюдателями. Таким образом, мы могли бы определить$\Delta s$быть его косинусом... если бы все, что нас интересовало, это получить инвариант.

Вы также правы, когда указываете на размерную проблему. Измерьте время в световых сантиметрах и расстояние по осям x, y, z в сантиметрах. Тогда длина измеряется в сантиметрах, как и время... Тогда в правой части есть единицы см.$^2$, а значит, и левая часть тоже. Использование косинуса или других подобных функций, таких как функция тождества, которую вы предлагаете, даст количество, которое даже не имеет единиц длины (и, следовательно, не может быть собственным временем).

Теперь определения произвольны, поэтому вы можете определить Ps равным$\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 - \Delta t^2$если вы хотите, и вы можете дать ему любое имя, которое вы хотите. Но сможете ли вы выразить фундаментальные законы физики в терминах этой величины? Это требование принципа относительности, чтобы он был инвариантом, и либо Ps, либо cos(Ps) удовлетворяли бы этому, но желательно , чтобы это облегчало нам жизнь в наших формулах, поскольку заниматься физикой уже достаточно сложно. Есть важные причины, по которым мы хотим использовать функцию квадратного корня вместо косинуса или вместо функции идентичности, на которой настаивает один из других ответов.

Это нечто большее, чем просто сделать ее похожей на теорему Пифагора или на дорелятивистскую физику. Эти причины не станут очевидными, пока вы не доберетесь до общей теории относительности или, по крайней мере, до дифференциальной геометрии. Это ваш вопрос, перефразированный: почему мы хотим изучать инвариантную величину с размерностями длины? (что то же самое, что и время).

Ответ заключается в том, что мы хотим иметь возможность определить$s$, собственное время или, как я выражаюсь, «длина пути». Это будет дано линейным интегралом$s = \int ds$вдоль пути и будет инвариантным для всех наблюдателей. Для наблюдателя, который движется по этому пути, это покажется прошедшим временем. Теперь довольно просто, что если проходят сначала 2 см времени, а затем еще 3, общее прошедшее время составляет 5 см. Итак, нам нужна аддитивная величина . Ни косинус, ни Ps не являются аддитивными, как показывают простые примеры, но если мы определим$ds^2 = dx^2+ dz^2+dy^2-dt^2$, то оно будет аддитивным по многомерному неевклидову аналогу теоремы Пифагора. именно поэтому происходит возведение в квадрат, и это действительно возведение в квадрат величины$ds$, а когда вдоль прямых линий участвуют конечные интервалы, это действительно квадрат количества$\Delta s$определяется как

КРАТКИЙ ОТВЕТ$\Delta s$так что мы получаем аддитивное количество вдоль мировых линий.

Δs — пространственно-временной интервал.

На самом деле, многие (большинство?) скажут, что пространственно-временной интервал $\Delta s^2$. Другими словами,$\Delta s^2$не является квадратом интервала; это символ интервала.

Поскольку это было поставлено под сомнение в комментарии, я привожу несколько ссылок ниже:

Бернард Шютц пишет в книге «Гравитация с нуля: вводное руководство по гравитации и общей теории относительности» :

Вот определение пространственно-временного интервала. Предположим, что по измерениям некоего экспериментатора два события разделены промежутком времени$t$и пространственное расстояние$x$. Тогда в терминах этих чисел пространственно-временной интервал между двумя событиями есть величина

$$s^2=x^2-c^2 t^2.\tag{17.1}$$ Обратите внимание, что это записывается как квадрат числа $s$. Шаг-время-интервал - это количество $s^2$, нет $s$. На самом деле, мы не часто будем иметь дело с $s$сам. Причина в том, что $s^2$не всегда положительно, в отличие от расстояния в пространстве. Если $ct$больше, чем $x$в уравнении 17.1 тогда $s^2$будет отрицательным. Чтобы не извлекать квадратный корень из отрицательного числа, физики обычно просто вычисляют $s^2$и оставьте это на этом. Вы должны просто рассматривать $s^2$как единый символ, а не как квадрат чего-то.

Роберт М. Уолд пишет в книге «Пространство, время и гравитация: теория большого взрыва и черные дыры» :

Какую немедленную информацию дает нам пространственно-временной интервал? Если пространственно-временной интервал между событиями A и B отрицателен, то либо$t_1$или же$t_2$отрицательно. Из этого следует, что события A и B связаны во времени, как показано на рисунке 12.$a$. В этом случае инерционный наблюдатель может присутствовать как при событиях A, так и при B. Прошедшее время, которое такой наблюдатель измерил бы между A и B, представляет собой просто квадратный корень минус пространственно-временной интервал,$\Delta t=\sqrt{-\text(interval)}$.

Кроме того, из пространственно-временных интервалов :

Интервал определяется _

$$\Delta s^2 = \Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2-(c\Delta t)^2$$

Обратите внимание, что символ$\Delta s^2$обычно берется как фундаментальная величина, а не как квадрат какой-либо другой величины$\Delta s$.

А Шон Кэрролл пишет в « Конспектах лекций по общей теории относительности »:

Интервал определяется как$s^2$, а не квадратный корень из этого количества .

Является ли это теоретической или практической причиной того, что мы определяем пространственно-временной интервал на основе возведения в квадрат?

Теоретически интервал представляет собой скалярное (внутреннее) произведение Минковского четырехвектора смещения с самим собой.

который инвариантен относительно преобразования Лоренца. Это аналогично квадрату длины трехмерного вектора смещения.

Однако внутренний продукт Минковского не является положительно определенным; внутренний продукт может быть положительным или отрицательным.

На практике знак интервала определяет, является ли четверное смещение времениподобным или пространственноподобным (интервал светоподобн, если интервал равен нулю).

Если интервал подобен времени, то собственное время равно

Если интервал пространственно-подобный, правильное расстояние равно

или это просто для того, чтобы это было похоже на теорему Пифагора ...?

Если вы посмотрите на книгу Эйнштейна «Относительность: специальная и общая теория», вы увидите в Приложении I (как раз перед уравнением (10)), что для вывода интервального уравнения Эйнштейн действительно начал с теоремы Пифагора в 3D, который он поставил так:

Таким образом он показал вектор света, движущегося в трехмерном пространстве.

Затем он преобразовал уравнение несколькими способами, но теорема Пифагора была источником всего уравнения.

(А минус я получил, потому что... напомнил историю? Ну, наверное, не стоит изучать источники...)

РЕДАКТИРОВАТЬ: PyRulez прокомментировал ниже: «Это на самом деле не объясняет, почему пространственно-временной интервал был возведен в квадрат (должны быть только расстояния)» .

Что ж,$x$($\Delta x$) это расстояние,$y$это расстояние,$z$это расстояние и$ct$- как я показал выше (или что просто следует из того, что это скорость, умноженная на время) - тоже расстояние. Теперь, что вы называете результатом сложения и вычитания расстояний (в квадрате)? Эйнштейн назвал это «линейным элементом» или «линейным элементом» и написал в «Основах общей теории относительности» (стр. 119):

«Величина линейного элемента, относящегося к точкам четырехмерного континуума в бесконечной близости, мы называем ds».

Если у нас есть континуум и мы добавляем/вычитаем то, что мы называем расстояниями в этом континууме, то в результате мы должны получить расстояние.

Из кратчайшего евклидова расстояния между тремя точками, а именно 1,2,3, следует, что$dist(1,3)=dist(1,2)+dist(2,3)$.

куда$dist(x,y)$— вектор между точками x и y.

Теперь мы из повседневного опыта знаем, что пространство само по себе без времени евклидово.

Теперь это соотношение линейности следует перенести на пространство-время. Почему ?

Потому что, если для наблюдателя происходят три одновременных события, то их пространственно-временное расстояние должно быть равно евклидову расстоянию и, таким образом, будет соответствовать условию линейности.

Таким образом, мы ожидаем, что пространственно-временной интервал между любыми событиями a, b и c также должен подчиняться соотношению

$dist^* (a,c)=dist^* (a,b)+dist^* (b,c)$

куда$dist^*$– вектор расстояния пространственно-временного интервала.

который будет сопровождаться только в том случае, если единицей пространственного интервала является длина, а не длина$^2$.

Это отношение линейности также упрощает математику и позволяет нам делать вещи в специальной теории относительности, подобные тем, что были до относительности, такие как определение скорости, кинетической энергии, импульса, как это делал Ньютон, и они следуют тому же типу векторного/скалярного сложения соответственно пути они делали в дни до относительности.

Теперь, если вы все еще делаете все так же, как определяете импульс как$p=$ $m$х (новая метрика)$/$правильное время и энергия, чтобы иметь единицы$p^2/2m$.

Где новая метрика обозначает метрику, которая будет$\Delta s'$в вопросе.

У вас не будет таких соотношений, как сохранение энергии, сохранение импульса, в той же математической форме, которая использовалась ранее в дорелятивной механике.

Так что либо относитесь к метрике Минковского как к размерности$length$или полностью изменить то, как вы определяли импульс, энергию и все остальное до теории относительности, чтобы ваша теория оставалась совместимой со вселенной.

Последнее кажется более сложной задачей, чем первое. Подводя итог : .

Наши уравнения сохраняют свою старую дорелятивную математическую форму — это основная причина, по которой мы принимаем пространственно-временной интервал за единицу длины. Также наше расстояние по-прежнему является векторной величиной.

Одна из многих причин заключается в том, что если отрицательное расстояние так же хорошо, как положительное расстояние (т. е. вы можете использовать отрицательное расстояние с одним направлением точно так же, как положительное расстояние с противоположным направлением), то$s^2$делает этот факт очевидным, потому что в мире, где вы работаете с квадратами (например, уравнение, которое вы опубликовали), реальное расстояние с любым знаком одинаково хорошо, потому что оба получаются одинаковыми.