Что представляет собой смешанная (инвариантная?) форма метрического тензора в плоском пространстве-времени?

В плоском пространстве метрический тензор (в одном из двух соглашений)

$$\eta^\mu{} ^\nu = \begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix} = \eta_\mu{}_\nu$$ Что $\eta^\mu{}_\nu$или $\eta_\mu{}^\nu$? Я тут читал , что то же самое! Но если мы используем метрический тензор для преобразования ковариантных и контравариантных компонентов, кажется, что ответом должна быть единичная матрица.

Если мы используем определение метрики как коэффициенты бесконечно малого элемента длины дуги$ds^2$, я думаю, это также показывает, что ответ должен быть единичной матрицей.

Может ли кто-нибудь объяснить (по-простому для тех, кто плохо разбирается в дифференциальной геометрии), как получить правильный ответ, каким бы он ни был? Желательно с ответом, который не просто полагается на заученные правила обозначения индекса Эйнштейна.