Почему распределение заряда на внешней поверхности полого проводящего шара однородно и не зависит от заряда, помещенного внутри него?

Когда вы размещаете отрицательный заряд$-q$внутри полой проводящей сферы,$+q$количество заряда индуцируется на внутренней поверхности полой сферы. Это связано с тем, что в электростатике чистое электрическое поле внутри проводника должно быть равно нулю. Если мы рассмотрим поверхность Гаусса, как показано на диаграмме ниже:

^{Изображение взято из этого ответа. Оригинальный источник изображения: Halliday, Resnick, Walker 10th edition.}

Поскольку чистый электрический поток, проходящий через гауссову поверхность, равен нулю, чистый электрический заряд, заключенный в поверхности, также должен быть равен нулю. Это показывает, почему количество$+q$заряд индуцируется на внутренней поверхности, когда заряд$-q$находится в любом месте внутри сферы.

Если сфера первоначально не заряжена, то для сохранения электронейтральности заряд$-q$индуцируется на внешней поверхности сферы. Надеюсь, вы все это уже знали.

Теперь давайте перейдем к вашему вопросу: почему распределение заряда на внешней поверхности является однородным, если заряд внутри сферы не находится в ее центре?

Когда заряд$-q$находится в центре сферы, распределение заряда на внутренней поверхности сферы является равномерным. Однако, когда отрицательный заряд помещен в какую-то другую внутреннюю точку, отличную от центра сферы, индуцированный заряд будет неоднородным. Почему? Это связано с тем, что электрическое поле внутри проводника должно быть равно нулю, и если распределение заряда на внутренней поверхности должно реорганизоваться таким образом, они эффективно действуют как положительный заряд.$+q$помещается в новое положение заряда$-q$, тем самым отменяя его эффект.

Следует отметить, что заряд на внешней поверхности сферы не порождает электрического поля внутри нее. Даже если вы подаете заряды с внешней поверхности или снимаете их каким-либо другим способом, распределение зарядов на внутренней поверхности остается прежним и зависит только от положения отрицательного заряда.$-q$внутри сферы.

Принцип суперпозиции позволяет строить решения из разных частей. Первая часть решения этой проблемы, это система$+q$точечный заряд и$-q$заряд внутренней поверхности, который индуцирует нулевые электрические поля снаружи внутренней поверхности. Электрическое поле в объеме металла равно нулю. Еще со времен Ньютона известно, что равномерное распределение зарядов (масс) дает нулевое электрическое (гравитационное) поле внутри шара. Следовательно, второй частью решения является равномерная$+q$распределение заряда на внешней поверхности. А из этого решения следует, что электрическое поле вне внешней поверхности равно распределенному по внешней сфере электрическому полю$+q$заряжать.

Это лучше всего решать, сначала рассматривая потенциалы. Поскольку сфера является проводником, внешняя поверхность сферы является эквипотенциальной, и, конечно, вне сферы следует решать$\nabla^2 V=0$в сферических координатах, чтобы получить всюду потенциал, из которого можно было бы вывести, что поле везде радиально.

Установив, что$\vec E=k\hat{r}/r^2$рассмотрим теперь граничное условие на границе раздела: нормальная часть$\vec D$терпит разрыв, пропорциональный поверхностной плотности заряда: