Почему размерность электрического заряда зависит от количества измерений пространства-времени?

Question

Почему размерность электрического заряда зависит от количества измерений пространства-времени?

Физика
электромагнетизм
размерный анализ
пространство-время-измерения
домашнее задание и упражнения

Эрих

С помощью размерного анализа мы можем обнаружить, что размерность электрического заряда зависит от размерности пространства-времени. $(D+1)$ :

[обвинение] знак равно (эВ)^{(3 - Д) / 2} .

$[\text{charge}] = (\text{eV})^{(3-D)/2}.$ Он безразмерен, если есть три пространственных измерения (

D = 3

$D=3$ ). Ниже вы можете увидеть, как я это сделал. Вопрос: почему это происходит? Что это означает?

Я использую единицы Хевисайда-Лоренца с натуральными единицами ( $\hbar = c = 1$ ), так что все измерения могут быть выражены в энергии ( $\text{eV}$ ).:

\begin{aligned} [Икс] & знак равно [т] знак равно (эВ)^{- 1} \\ [п] & знак равно [Е] знак равно эВ \end{aligned}

$\begin{align} [x] &= [t] = (\text{eV})^{-1}\\ [p] &= [E] = \text{eV} \end{align}$

Используя действие из теории Максвелла

С знак равно - \frac{1}{4} \int д^{1 + Д} Икс Ф^{мю ν} Ф_{мю ν}

$S = - \frac{1}{4} \int d^{1+D} x F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}$ и сделать размерный анализ,

\begin{aligned} [С] & знак равно [Икс]^{1 + Д} [Ф^{мю ν}]^{2} \Rightarrow \\ 1 & знак равно (эВ)^{- Д - 1} [Ф^{мю ν}]^{2} \Rightarrow \\ [Ф^{мю ν}] & знак равно (эВ)^{(Д + 1) / 2} \end{aligned}

$\begin{align} [S] &= [x]^{1+D} [F^{\mu \nu}]^2\Rightarrow\\ 1 &= (\text{eV})^{-D-1} [F^{\mu \nu}]^2\Rightarrow\\ [F^{\mu \nu}] &= (\text{eV})^{(D+1)/2} \end{align}$ Тогда, используя неоднородное уравнение

\partial_{ν} Ф^{мю ν} знак равно {Дж}^{мю}

$\partial_\nu F^{\mu \nu} = J^\mu$ и сделать размерный анализ

\begin{aligned} [\partial_{ν}] [Ф^{мю ν}] & знак равно [{Дж}^{мю}] \\ е В е В^{(Д + 1) / 2} & знак равно [{Дж}^{мю}] \\ [{Дж}^{мю}] знак равно (эВ)^{(Д + 3) / 2} \end{aligned}

$\begin{align} [\partial_\nu] [F^{\mu \nu}] &= [J^\mu]\\ eV eV^{(D+1)/2} &= [J^\mu]\\ [J^\mu] = (\text{eV})^{(D+3)/2} \end{align}$

Теперь давайте посмотрим на измерение заряда. Связь заряда с $(1+D)$ плотность тока

[{Дж}^{мю}] знак равно \frac{[обвинение]}{[Икс]^{Д}}

$[J^\mu] = \frac{[\text{charge}]}{[x]^D}$

Так,

\begin{aligned} (эВ)^{(Д + 3) / 2} & знак равно (эВ)^{Д} [обвинение] \\ [обвинение] & знак равно (эВ)^{(3 - Д) / 2} \end{aligned}

$\begin{align} (\text{eV})^{(D+3)/2} &= (\text{eV})^{D} [\text{charge}]\\ [\text{charge}] &= (\text{eV})^{(3-D)/2} \end{align}$

Мы получаем это только в $3+1$ -размеры заряда безразмерны. Если мы в $1+1$ , и в $1+5$ заряд такой же, как и время.

В другом месте мне сказали, что она (размерность заряда) связана с перенормируемостью КЭД. И что тот факт, что заряд безразмерен только в $3+1$ связано с тем, что уравнения Максвелла конформно-инвариантны при $3+1$ .

Ответы (2)

Почему размерность электрического заряда зависит от количества измерений пространства-времени?

Умный · Answer 1

Регуляризируя КЭД размерной регуляризацией, мы переходим от $4\rightarrow d$ Габаритные размеры. Теперь действие можно записать как

$S = \int d^dx\mathcal{L}_d\ ,$

где индекс $d$ сопереживает размеру. Действие должно быть безразмерным, поэтому $\mathcal{L}_n$ имеет размеры $m^d$ . (Я использую $m$ для массы, или эквивалента, энергетической размерности, ст $[x]=m^{-1}$ .)

КЭД-лагранжиан

$\mathcal{L}_{QED}= \bar\psi \left(i\gamma^\mu(\partial_\mu -ie_d QA_\mu)-m\right) \psi -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \ .$

Размерный анализ дает:

$[x]=m^{-1} \\ [\partial_{\mu}]=m^1\\ [F_{\mu\nu}]=m^{\frac{d}{2}}\quad \Rightarrow \quad [A_\mu]=m^{\frac{d}{2}-1}\\ [\psi]=m^{\frac{d-1}{2}} \quad \Rightarrow \quad [e_d]=m^{\frac{4-d}{2}}$

Так что тот факт, что заряд, т.е. связь КЭД, не является безразмерным в $d\neq 4$ вытекает из требования перенормируемости теории.

Смысл этого в том, что, например, в (перенормируемом) $2+1$ теории нет масштабной инвариантности. (На самом деле в КЭД тоже нет масштабной инвариантности, поскольку связь увеличивается с ростом энергии из-за квантовых поправок.)

В этом нет физического смысла, так как мы живем в мире с $3+1$ (расширенные) размеры.

"то, что заряд не является безразмерным в $d\neq 4$ исходит из требования перенормируемости теории" - я не следую этому аргументу? Вы можете расширить?
также отмечу, что вы используете другую нотацию, $d=D+1$ , куда $D$ появляется в исходном вопросе.
@innisfree: В вопросе $D$ используется для пространственных измерений, поэтому $D+1$ число пространственно-временных измерений. Анализ размерностей всех полей и заряда приводит к $[e_d]=m^{\frac{4-d}{2}}$ , что в случае $d=4$ является $[e_d]=1$ , например, безразмерный. Был применен размерный анализ, так как мы хотели, чтобы наша теория была перенормируемой, т. е. члены в лагранжиане (плотность) имели размерность беспорядка $4$ .

Qмеханик · Answer 2

Комментарий к вопросу (v6): кажется, что ОП в основном видит эффект, при котором закон Гаусса заставляет закон Кулона быть

\begin{matrix} (1) & Ф знак равно к_{е} \frac{{Вопрос}_{1} {Вопрос}_{2}}{р^{Д - 1}} \end{matrix}

$\tag{1} F~=~ k_e \frac{Q_1Q_2}{r^{D-1}}$

в $D$ пространственные размеры. Если мы выберем единицы Лоренца-Хевисайда/СГС/Гаусса с $c=1=\hbar$ , то постоянная Кулона $k_e$ становится безразмерным. Тогда из закона Кулона (1) следует, что размерность заряда равна

\begin{matrix} (2) & [Вопрос] знак равно [Е]^{\frac{3 - Д}{2}} \end{matrix}

$\tag{2} [Q] = [E]^{\frac{3-D}{2}}$

при выражении в измерении $[E]$ энергии.

Почему размерность электрического заряда зависит от количества измерений пространства-времени?

Эрих

Ответы (2)

Умный

innisfree

innisfree

Умный

Qмеханик

Одинаковы ли единицы энергии в высших измерениях?

Нахождение векторного потенциала вращающейся сферической оболочки с однородным поверхностным зарядом?

Выведите формулу сопротивления воздуха F=12CAdv2F=12CAdv2F = \frac{1}{2}CAdv^2 с помощью анализа размеров

Как нарисовать все векторы электрического поля, связанные с электромагнитной волной?

Получение квантового гамильтониана для заряженной частицы из формулы континуального интеграла

Полый проводник, содержащий заряд: почему внутреннее поле уравновешивается снаружи и почему поле вне полости равно нулю внутри полости?

Действие системы Эйнштейна-Максвелла для произвольных размерностей

Расчет уравнения движения по действию

Можем ли мы явно решить уравнение Гамильтона-Якоби для частицы в однородном магнитном поле?

Покажите, что