Одинаковы ли единицы энергии в высших измерениях?

Предположим на мгновение, что нас конкретно интересует кинетическая энергия одиночной нерелятивистской частицы, так что$E=\frac{1}{2}m\vec{v}^2$. Я включаю сюда векторное обозначение скорости, потому что полезно иметь в виду, что$\vec{v}^2=\vec{v}\cdot\vec{v}$.

Если частица движется в двух измерениях, то$\vec{v}=v_x\hat{x}+v_y\hat{y}$и$\vec{v}\cdot\vec{v}=v_x^2+v_y^2$, который имеет единицы скорости в квадрате. В трех измерениях,$\vec{v} = v_x\hat{x}+v_y\hat{y}+v_z\hat{z}$и$\vec{v}\cdot\vec{v} = v_x^2+v_y^2+v_z^2$, который по-прежнему имеет единицы скорости в квадрате. В четырех измерениях,$\vec{v} = v_x\hat{x}+v_y\hat{y}+v_z\hat{z}+v_w\hat{w}$, и$\vec{v}\cdot\vec{v}=v_x^2+v_y^2+v_z^2+v_w^2$, который, опять же, по-прежнему имеет единицы квадрата скорости. Это связано с тем, что сложение двух количеств одних и тех же единиц вместе не меняет их единиц. Действительно, это верно для любого числа измерений и предполагает, что единицы энергии должны быть неизменными.

Мы также можем видеть это в более общем виде по формальному определению работы, которое является определением изменения энергии:

$$W=\int_C \vec{F}\cdot d\vec{s}$$

на предмет, на который действует сила$\vec{F}$движение по пути$C$с параметром длины дуги$d\vec{s}$. Это формальное, самое общее определение, и оно верно независимо от того, сколько у вас измерений пространства. И снова вы можете видеть, что это определение включает скалярное произведение. Скалярный продукт берет два вектора в любом количестве измерений и выводит одномерную величину (т.е. число). Работа касается только одной составляющей силы, а именно той, которая указывает на одномерный путь, по которому движется частица. Независимо от того, во сколько пространственных измерений встроен этот одномерный путь, работа заботится только о том, что происходит в одном из этих измерений. Таким образом, единицы работы всегда должны быть одинаковыми, и, поскольку работа имеет те же единицы, что и энергия (иначе мы не смогли бы сложить их вместе), единицы энергии также всегда должны быть одинаковыми.

Классическая механика уже (фактически) многомерна.

Рассмотрим уравнение движения одной частицы в одном измерении:

$$\begin{align} m \ddot x(t) = F(x). \end{align}$$ Теперь рассмотрим уравнение движения одной частицы в двух измерениях: $$\begin{align} m \ddot x(t) & = F_x(x,y)\\ m \ddot y(t) & = F_y(x,y), \end{align}$$ и в трех измерениях $$\begin{align} m \ddot x(t) & = F_x(x,y,z)\\ m \ddot y(t) & = F_y(x,y,z)\\ m \ddot z(t) & = F_z(x,y,z). \end{align}$$ Теперь рассмотрим уравнение движения двух частиц в одном измерении: $$\begin{align} m_1 \ddot x_1(t) & = F_{1}(x_1,x_2)\\ m_2 \ddot x_2(t) & = F_{2}(x_1,x_2), \end{align}$$ или в двух измерениях, $$\begin{align} m_1 \ddot x_1(t) & = F_{x,1}(x_1,y_1,x_2,y_2)\\ m_1 \ddot y_1(t) & = F_{y,1}(x_1,y_1,x_2,y_2)\\ m_2 \ddot x_2(t) & = F_{x,2}(x_1,y_1,x_2,y_2)\\ m_2 \ddot y_2(t) & = F_{y,2}(x_1,y_1,x_2,y_2), \end{align}$$ или три, $$\begin{align} m_1 \ddot x_1(t) & = F_{x,1}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)\\ m_1 \ddot y_1(t) & = F_{y,1}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)\\ m_1 \ddot z_1(t) & = F_{z,1}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)\\ m_2 \ddot x_2(t) & = F_{x,2}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)\\ m_2 \ddot y_2(t) & = F_{y,2}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)\\ m_2 \ddot z_2(t) & = F_{z,2}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2). \end{align}$$

Схема должна быть довольно очевидной: добавление пространственных измерений идентично добавлению частиц, а классическая механика уже прекрасно приспособлена для работы с дополнительными измерениями, так что, например, если вы добавите четвертое пространственное измерение, уравнения движения

$$\begin{align} m \ddot x(t) & = F_x(x,y,z,w)\\ m \ddot y(t) & = F_y(x,y,z,w)\\ m \ddot z(t) & = F_z(x,y,z,w)\\ m \ddot w(t) & = F_z(x,y,z,w) \end{align}$$ будет иметь форму, точно идентичную форме двух частиц в двух измерениях.

Итак, что это означает для энергии? Хорошо следуя основному принципу, что

Одни и те же уравнения имеют одни и те же решения и одни и те же свойства.

динамика в четырех пространственных измерениях будет иметь сохраняющуюся энергию, точно аналогичную энергии двух частиц в двух измерениях,

$$E = \frac12 m_1 \dot x_1^2 + \frac12 m_1 \dot y_1^2 + \frac12 m_2 \dot x_2^2 + \frac12 m_2 \dot y_2^2 + V(x_1,y_1,x_2,y_2)$$ т.е. сохраняющаяся энергия вида $$E = \frac12 m \dot x^2 + \frac12 m \dot y^2 + \frac12 m \dot z^2 + \frac12 m \dot w^2 + V(x,y,z,w)$$ куда$V(x,y,z,w)$является потенциальной энергией. Это должно прояснить, что физическая размерность энергии, $$[E] = [ML^2T^{-2}],$$ не меняется в процессе - и его форма из "нормальной" классической механики уже полностью включает в себя эффекты, охватывающие любое количество пространственных измерений.