Система центра масс для безмассовых частиц

Согласно ньютоновскому определению, фотон не будет учитываться из-за его нулевой массы, но это релятивистское столкновение, поэтому вам нужно релятивистское определение центра масс. С релятивистской точки зрения, см система отсчета - это система, в которой полный четырехвектор импульса системы является чисто времениподобным. Нет, это не совпадает с системой отсчета электрона.

То, что вы описываете, это комптоновское рассеяние. В системе см и электрон, и фотон рассеиваются на 180 градусов с той же энергией, с которой они пришли.

Чтобы определить кадр в см, добавьте четыре вектора импульса и нормализуйте результат. Это четырехвектор скорости наблюдателя в см.

Бывают случаи, когда это определение не работает. Например, если система состоит из одного луча света, то четырехвектор импульса светоподобн, поэтому его нельзя нормализовать; нет системы отсчета, в которой он находится в состоянии покоя. Но, например, если ваша система состоит из двух лучей света, движущихся в разных направлениях, то есть см кадр.

Система отсчета центра масс, по определению, та, в которой полная$3$- импульс исчезает. Он почти всегда существует и для безмассовых частиц, как я собираюсь обсудить.

Общая$4$-импульс$P$системы$N$ свободных частиц есть сумма их$4$-импульсы частиц, т.е.

$$P = \sum_{a=1}^N P_{(a)}\:,$$ где каждый $P_{(a)}$является неисчезающим , ориентированным на будущее , причинным $4$-вектор (т. е. либо времяподобный, либо светоподобный).

По стандартным свойствам сумм причинных векторов для$N\geq 2$, человек понимает, что$P$также причинно и не может быть светоподобным, если только все$4$-импульсы системы$P_{(a)}$параллельны и светоподобны. Если хотя бы одна частица не безмассовая, как в рассматриваемом вами случае,$P$оказывается времениподобным, и, таким образом, центр масс хорошо определен.

Действительно, когда общая$4$импульс$P$времениподобны и направлены в будущее (до$4$-перемещения и пространственные повороты, которые не изменяют кинематику) существует ориентированная в будущее Минковская система отсчета (*), временная ось которой$\partial_t$проверяет$P = k \partial_t$для некоторых$k>0$.

В этой системе отсчета$P$не имеет компонент, перпендикулярных$\partial_t$. Другими словами,$3$- импульс исчезает. Это центр системы отсчета масс физической системы.

Тот факт, что даже система безмассовых частиц имеет центр масс (исключая указанный выше случай), не должен вызывать удивления, поскольку (инвариантная) масса частиц здесь не имеет значения . В отличие от классического случая, имеет значение энергия , и она строго положительна и для фотонов. Проиллюстрируем этот факт. В классической картине нужно искать систему отсчета, где

$$\vec{0} =\sum_{a=1}^N m_a \vec{v}_a\:.$$

Вместо этого в релятивистской области соответствующее уравнение имеет вид

$$\vec{0} = \sum_{a=1}^N \vec{P}_a = \sum_{a=1}^N E_a\vec{v}_a$$

где$4$-импульс разлагается на его энергетическую (временную) составляющую и ее$3$-импульсные (пространственные) компоненты как

$$P_a = (E_{(a)}, \vec{P}_{(a)})$$ (я предполагаю $c=1$) и, следовательно, $3$-скорость $$\vec{v}_{(a)}= \frac{\vec{P}_{(a)}}{E_{(a)}}\:.$$

Вы видите, что даже если некоторые из частиц являются фотонами, мы имеем$E_{(a)}>0$, потому что$E_{(a)}^2 - \vec{P}^2_{(a)}=0$а также$P_{(a)}\neq 0$в этом случае.

---

(*) Это следствие того, что с точностью до растяжения ортохронная группа Лоренца$O(3,1)_+$действует транзитивно внутри будущего светового конуса.

Аргумент «фотон не имеет массы» изначально ошибочен по крайней мере по двум причинам. Во-первых, точная формулировка: «инвариантная масса фотона равна 0». Это не означает, что количество не определено. Он определен, но имеет нулевое значение.

Во-вторых, инвариантная масса в теории относительности не суммируется (не является экстенсивной величиной) даже для невзаимодействующих частиц. Инвариантная масса системы нескольких невзаимодействующих частиц больше или равна сумме масс составляющих, а «равный» случай имеет место только тогда, когда все 4-импульсы параллельны (центры масс составляющих имеют нулевую скорость в некоторой системе отсчета). для массивных составляющих, движущихся в параллельном направлении для безмассовых и никогда не бывает, когда есть как массивные, так и безмассовые составляющие). Да, массивная частица и испущенный фотон вместе всегда имеют большую массу, чем сама частица. К настоящему случаю не относится, просто для справки: для взаимодействующих (а именно притягивающих) тел этот дефект массы может иметь любой знак.

Другой подход: вам не нужно строить догадки, насколько мала масса фотона (если она вообще есть), а его импульс определенно отличен от нуля.

Итак, отбросьте мысль о том, что фотоном можно пренебречь, и рассчитайте импульсы.