Почему собственное время и правильная длина не определяются в одной и той же системе отсчета?

Противоречия нет. Из вашей цитаты:

Надлежащая длина объекта — это длина объекта в кадре, в котором объект находится в состоянии покоя.

и

Собственное время между двумя событиями — например, событием излучения света на транспортное средство и событием получения света на транспортное средство — это время между двумя событиями в кадре, где события происходят в одном и том же месте.

Очевидно, что кадр покоя объекта — это кадр, в котором все события, связанные с ним, происходят в одном и том же месте.

Следовательно, собственная длина и собственное время определяются здесь в одной и той же системе отсчета — в системе покоящегося объекта.

Вы должны заметить, что это не «лучшее» определение собственного времени . Учитывая метрику Минковского

$$g_{\mu\nu} \mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu = \mathrm{d}s^2 = \mathrm{d}t^2 - \frac{1}{c^2}\mathrm{d}\vec x^2$$ один определяет правильную длину наблюдателя, путешествующего по мировой линии $\gamma : [t_0,t_1]\to\mathbb{R}^4$как интеграл бесконечно малого элемента длины $\mathrm{d}s$вдоль него: $$\tau = \int_\gamma \mathrm{d}s = \int_{t_0}^{t_1}\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}\gamma^0}{\mathrm{d}t}\right)^2 - \frac{1}{c^2} \sum_{i=1}^3 \left(\frac{\mathrm{d}\gamma^i}{\mathrm{d}t}\right)^2}\mathrm{d}t$$ что согласуется с предыдущим определением в системе покоя, потому что мировая линия наблюдателя в своей собственной системе отсчета просто $\gamma(t) = (t,0,0,0)^T$, но имеет то преимущество, что он явно инвариантен по Лоренцу - это показывает, что все наблюдатели согласятся с тем, что будет правильным временем для любого другого наблюдателя, которого они видят.

Собственное время — это геометрическое свойство пространства-времени: умноженное на с, оно представляет собой просто «длину» пиксела мировой линии частицы; «геометрическое свойство» означает независимость от системы координат (как в евклидовом пространстве длина кривой не зависит от системы координат). Однако геометрия пространства-времени отличается от евклидовой: "длина" в пространстве-времени означает псевдодлину (т.е. она может быть равна нулю для не идентичных точек, как для мировой линии фотона). ACuriousMind♦ объяснил это в стиле CuriousMindnes!

В пространстве-времени общей теории относительности (или в любом другом$n$-мерное псевдориманово многообразие) длина кривой равна

$$L(\gamma )=\int_{\gamma} ds = \int \limits _{t_0}^{t_1}{\sqrt {{\Bigg |}\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t)){\frac {d\gamma ^{i}(t)}{dt}}{\frac {d\gamma ^{j}(t)}{dt}}{\Bigg |}}}\,\, dt$$

где$g_{ij}(\gamma (t))$- метрический тензор, вычисляемый в точке$\gamma (t), t\in \langle t_0, t_1\rangle$. Окончательно,

$$\tau=\frac{L(\gamma )}{c}$$ есть собственное время частицы, движущейся по кривой (время можно измерить часами частицы, но длину нельзя измерить сплошной метрической чертой, как в евклидовом пространстве).

Количество или геометрическое отношение, называемое «собственным», можно понимать как «относящееся к тем участникам, которые тем самым (непосредственно, по сути) характеризуются».

Следовательно, мы можем рассмотреть, например,

• «собственная длина данного поезда», как расстояние между двумя его концами («наконечник локомотива,$A$"и" ЭТД ,$B$") между собой, при условии, что они действительно оставались в покое друг к другу,

• «собственная длина данного участка пути», как расстояние между двумя его концами (например, двумя соответствующими железнодорожными шпалами ,$J$и$K$) между собой, при условии, что они действительно оставались в покое друг к другу,

• «собственное время» (скорее: продолжительность) локомотивной подсказки$A$, от$A$указание на то, что он был пройден мимо$J$до$A$указание на то, что он был пройден мимо$K$(если$A$действительно был пройден железнодорожными шпалами$J$и$K$, именно в таком порядке) и

• «собственное время» (продолжительность) шпалы$J$, от$J$указание на то, что он был пройден мимо$A$до$J$индикация одновременно с шпалой$K$указание на то, что он был пройден мимо$A$(предоставил$J$и$K$они действительно оставались неподвижными по отношению друг к другу, так что они могли успешно определить, какое указание одного было одновременным с каким указанием другого).

Оправдание и повод для подчеркивания «собственных» величин и отношений вообще возникают потому, что в некоторых изложениях теории относительности определенные величины и отношения действительно приписываются «извне» и, следовательно, «неправильно»; например

• назвав расстояние между определенной парой железнодорожных шпал (которое само по себе совершенно «правильным» в этом смысле) также «(неправильной) длиной движущегося поезда» (в отличие от его собственной собственной длины), или

• приписывая (частям) судебного разбирательства некоторую продолжительность, определенную железнодорожными шпалами, ненадлежащим образом; или просто из-за того, что не удалось тщательно отличить продолжительность пути, занятого (движущимся) поездом, от продолжительности движения поезда (самого себя).

ps
Некоторые заметки о соотношении между длительностью "$\Delta \tau$"количество участников и интервалы"$s^2$"между парами событий:

Если рассматривать два события, связанных друг с другом «временноподобно», т. е. таких, что есть хотя бы один участник, принявший участие сначала в одном, а затем в другом событии, то величина интервала между этими двумя событиями,$\sqrt{-s^2}$(т. е. с использованием соглашения о знаках Википедии ) определяется продолжительностью движения (или любого) участника, который перемещался равномерно (без ускорения, по инерции) между этими событиями; которая (с указанным соглашением) является наибольшей продолжительностью от указания участия в одном из этих двух событий до указания участия в другом из всех применимых участников.

В свою очередь, поскольку путь участника может быть кусочно аппроксимирован участками равномерного движения, длительность этого участника от его указания на участие в одном событии до его указания на участие в другом событии может быть выражена (приближенно) как сумма величин интервалов по подходящим участкам пути; а в пределе описания пути все большим количеством дополнительных событий «в пути», со все меньшими отрезками между последовательными событиями (по сравнению с интервалом по величине между двумя концами пути) — как интеграл.

Наконец, следует подчеркнуть, что все эти определения, конечно, не зависят от каких-либо (возможных, необязательных) присвоений координат событиям и/или участникам и их показаниям.